Задание №8 — Исследование функций с помощью производной

Решение:
Вспомним связь между поведением функции и знаком её производной: там, где функция растёт, производная принимает положительные значения, а там, где убывает — отрицательные. Исходя из этого, наибольшее значение производной следует искать среди точек, лежащих на участках возрастания графика. В нашем случае это точки $x = -4$ и $x = 5$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение $f'(x_0)$ совпадает с тангенсом угла наклона касательной (или её угловым коэффициентом), проведённой к графику в данной точке. Чем круче идёт график вверх (чем больше угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс), тем выше значение производной.

Сравним крутизну подъёма функции в указанных точках. Если мысленно провести касательные в $x = -4$ и $x = 5$, станет очевидно, что в точке $x = 5$ график поднимается более резко, а значит, угол наклона касательной там больше. Следовательно, именно в точке $x = 5$ производная достигает своего максимального значения среди предложенных вариантов.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ