Решение:
Исходное уравнение: $\sin(2x) + 2\sin^2(x) = 0$.
а) Применим формулу синуса двойного угла: $$2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) = 0$$ Разделим обе части уравнения на $2$ и вынесем общий множитель за скобки: $$\sin(x)(\cos(x) + \sin(x)) = 0$$ Данное произведение равно нулю в двух случаях:
1) $\sin(x) = 0$, откуда получаем первую серию корней: $x_1 = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos(x) + \sin(x) = 0$. Перенесем косинус в правую часть: $\sin(x) = -\cos(x)$. Разделим уравнение на $\cos(x)$. Заметим, что если $\cos(x) = 0$, то и $\sin(x)$ должен быть равен $0$, что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Следовательно, $\cos(x) \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$). Получаем: $\operatorname{tg}(x) = -1$, что дает вторую серию корней: $x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (или $x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней, принадлежащих отрезку $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$.
1) Для первой серии $x = \pi k$: $-2\pi \leq \pi k \leq -\frac{\pi}{2}$. Делим на $\pi$: $-2 \leq k \leq -0,5$. Целые значения $k$: — при $k = -2$ получаем $x = -2\pi$; — при $k = -1$ получаем $x = -\pi$.
2) Для второй серии $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$: $-2\pi \leq \frac{3\pi}{4} + \pi k \leq -\frac{\pi}{2}$. Умножим все части на $4$: $-8\pi \leq 3\pi + 4\pi k \leq -2\pi$. Разделим на $\pi$: $-8 \leq 3 + 4k \leq -2$. Вычтем $3$: $-11 \leq 4k \leq -5$. Разделим на $4$: $-2,75 \leq k \leq -1,25$. Единственное целое значение $k = -2$. Вычислим корень: $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ:
а) $\pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-2\pi; -\frac{5\pi}{4}; -\pi$.

Источник: ФИПИ