Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $2 a ( x + 1 )^{2} - |x + 1| + 1 = 0$.
Заметим, что выражение $(x + 1)^2$ можно представить как $|x + 1|^2$. Тогда уравнение примет вид:
$2a |x + 1|^{2} - |x + 1| + 1 = 0.$
Для упрощения введем новую переменную $t = |x + 1|$.
Проанализируем количество корней в зависимости от значения $t$:
— При $t < 0$ уравнение $|x + 1| = t$ не имеет действительных корней.
— При $t = 0$ получаем единственное решение: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
— При $t > 0$ уравнение $|x + 1| = t$ распадается на два случая: $x + 1 = t$ и $x + 1 = -t$, что дает два различных корня.
После замены переменной получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$$2 at^{2} - t + 1 = 0.$$
Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, полученное квадратное уравнение должно обладать двумя различными положительными корнями (каждый из которых даст по два значения $x$).
Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = 2at^2 - t + 1$. Её график представляет собой параболу. Заметим, что значение функции в нуле $f(0) = 1$. Следовательно, для наличия двух положительных корней парабола должна пересекать ось абсцисс в двух точках правее оси ординат.

Вычислим дискриминант и координату вершины параболы для функции $f(t) = 2at^2 - t + 1$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2a \cdot 1 = 1 - 8a$;
$t_{в} = \frac{-(-1)}{2 \cdot 2a} = \frac{1}{4a}.$

Для реализации описанного выше графического условия необходимо выполнение следующей системы неравенств:
$\begin{cases} D > 0 \\ a > 0 \\ t_{в} > 0 \end{cases}$
Здесь $D$ — дискриминант (обеспечивает наличие двух корней), $a > 0$ — условие того, что ветви параболы направлены вверх (так как $f(0)=1 > 0$), а $t_{в}$ — абсцисса вершины параболы.
Подставим выражения в систему:
$\begin{cases} 1 - 8a > 0 \\ 2a > 0 \\ \frac{1}{4a} > 0 \end{cases}$
Решая данную систему, получаем:
$\begin{cases} a < \frac{1}{8} \\ a > 0 \\ a > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left( 0 ; \frac{1}{8} \right).$

Ответ: $a \in \left( 0 ; \frac{1}{8} \right)$

Источник: ФИПИ