Задание №16 — Рациональные неравенства

Решение:
$\frac{49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 3}{7^{x} - 5} + \frac{6 \cdot 7^{x} - 39}{7^{x} - 7} \leq 7^{x} + 5 .$
Пусть $7^{x} = t ,$ то
$\frac{t^{2} - 6 \cdot t + 3}{t - 5} + \frac{6 \cdot t - 39}{t - 7} \leq t + 5$
$\frac{t^{2} - 6 \cdot t + 3}{t - 5} + \frac{6 \cdot t - 39}{t - 7} - ( t + 5 ) \leq 0$
$\frac{\left(t^{2} - 6 t + 3\right) \left(t - 7\right) + \left(6 t - 39\right) \left(t - 5\right) - \left(t + 5\right) \left(t - 5\right) \left(t - 7\right)}{\left(t - 5\right) \left(t - 7\right)} \leq 0$
$\frac{3 t + 42 t - 21 - 30 t - 39 t + 195 + 25 t - 175}{( t - 5 ) ( t - 7 )} \leq 0$
$\frac{1 \cdot t - 1}{( t - 5 ) ( t - 7 )} \leq 0$

$\left[\begin{matrix} t \leq 1 \\ 5 < t < 7 \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} 7^{x} \leq 1 \\ 5 < 7^{x} < 7 \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} 7^{x} \leq 7^{0} \\ 5 < 7^{x} < 7^{1} \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} x \leq 0 \\ \log _{7} 5 < x < 1 . \end{matrix}\right.$

Ответ: $( - \infty ; 0 \left]\right. \cup ( \log _{7} 5 ; 1 )$

Источник: ФИПИ