Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin ( \pi + x ) \cdot \sin ( \frac{\pi}{2} + x ) = \sin ( x )$.
Для начала воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить тригонометрические функции:
1) $\sin ( \pi + x ) = - \sin ( x )$;
2) $\sin ( \frac{\pi}{2} + x ) = \cos ( x )$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$2 \cdot ( - \sin ( x ) ) \cdot \cos ( x ) = \sin ( x )$
$- 2 \sin ( x ) \cos ( x ) = \sin ( x )$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приравняем к нулю:
$2 \sin ( x ) \cos ( x ) + \sin ( x ) = 0$
Вынесем общий множитель $\sin ( x )$ за скобки:
$\sin ( x ) \cdot ( 2 \cos ( x ) + 1 ) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin ( x ) = 0$, откуда получаем первую серию корней: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos ( x ) + 1 = 0 \Rightarrow \cos ( x ) = - \frac{1}{2}$.
Это дает нам значения: $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя все полученные решения, можно записать: $x = \pi k$ и $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k$.
(Заметим, что совокупность этих корней также можно представить в виде $x = \pi k$ и $x = \frac{2 \pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$).

б) Произведем отбор корней на заданном отрезке $[ 3 \pi ; \frac{9 \pi}{2} ]$.
1) Для серии $x = \pi k$:
$3 \pi \leq \pi k \leq \frac{9 \pi}{2}$
Разделим на $\pi$: $3 \leq k \leq 4{,}5$.
Целые значения $k$:
При $k = 3$ получаем $x = 3 \pi$;
При $k = 4$ получаем $x = 4 \pi$.
2) Для серии $x = \frac{2 \pi k}{3}$:
$3 \pi \leq \frac{2 \pi k}{3} \leq \frac{9 \pi}{2}$
Умножим на $\frac{3}{\pi}$:
$9 \leq 2 k \leq \frac{27}{2}$
Разделим на 2: $4{,}5 \leq k \leq 6{,}75$.
Целые значения $k$:
При $k = 5$ получаем $x = \frac{10 \pi}{3}$;
При $k = 6$ получаем $x = \frac{12 \pi}{3} = 4 \pi$ (уже найден ранее).

Ответ:
а) $\pi k, \frac{2 \pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$;
б) $3 \pi, \frac{10 \pi}{3}, 4 \pi$.

Источник: ФИПИ