Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin ( 2 x ) = 0$.
Для упрощения воспользуемся формулами приведения и двойного аргумента:
1) Согласно формуле приведения, $\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)$, следовательно, $\sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos ^{2}(x)$.
2) Разложим синус двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cos ^{2}(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = 0$.
Разделим обе части равенства на $2$:
$\cos ^{2}(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos(x) \cdot (\cos(x) + \sin(x)) = 0$.
Получаем два случая:
1) $\cos(x) = 0$, откуда следует первая серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos(x) + \sin(x) = 0$. Перенесем косинус в правую часть: $\sin(x) = -\cos(x)$.
Разделив на $\cos(x)$ (заметим, что если $\cos(x) = 0$, то и $\sin(x) = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству), получим:
$\operatorname{tg}(x) = -1$, что дает вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих отрезку $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$.
1) Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
$3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$2{,}5\pi \leq \pi k \leq 4\pi$.
Разделим на $\pi$:
$2{,}5 \leq k \leq 4$.
Целые значения $k$ на этом промежутке: $k = 3$ и $k = 4$.
При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$.
При $k = 4$: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.
2) Для второй серии $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$:
$3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Умножим на $4$ и разделим на $\pi$:
$12 \leq 3 + 4k \leq 18$.
Вычтем $3$:
$9 \leq 4k \leq 15$.
Разделим на $4$:
$2{,}25 \leq k \leq 3{,}75$.
Единственное целое значение $k = 3$.
При $k = 3$: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi = \frac{15\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi}{2}; \frac{15\pi}{4}; \frac{9\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ