Задание №8 — Преобразование и вычисление тригонометрических выражений

Решение:
Для вычисления данного выражения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного аргумента: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Применим её к нашему примеру:
$$\sqrt{27} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{12} - \sin^2 \frac{13\pi}{12} \right) = \sqrt{27} \cdot \cos \left( 2 \cdot \frac{13\pi}{12} \right) = \sqrt{27} \cdot \cos \frac{13\pi}{6}.$$
Преобразуем полученный результат. Заметим, что $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, а аргумент косинуса можно разложить, выделив целое число периодов: $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Тогда, учитывая периодичность функции косинус, имеем:
$$3\sqrt{3} \cdot \cos \left( 2\pi + \frac{\pi}{6} \right) = 3\sqrt{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6}.$$
Подставим табличное значение $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$$3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$$

Ответ: 4,5

Источник: ФИПИ