Задание №20 — Свойства чисел

б) Предположим, что сумма двух чисел, кратных $45$, равна $3435$. Поскольку каждое слагаемое делится на $45$, то и результат сложения обязан делиться на $45$, а значит, и на $9$. Однако сумма цифр числа $3435$ равна $3+4+3+5=15$, что не кратно $9$. Следовательно, само число $3435$ на $9$ не делится ($3435 = 381 \cdot 9 + 6$), и такая сумма невозможна.

в) Числа, кратные $45$, должны делиться одновременно на $5$ и на $9$. По признаку делимости на $5$, каждое из чисел оканчивается либо на $0$, либо на $5$. Так как все цифры в наборе $\{0, 1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ различны, одно число будет иметь на конце $0$, а другое — $5$.
Сумма всех имеющихся цифр равна $0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27$. Поскольку каждое число кратно $9$, сумма цифр каждого из них должна делиться на $9$. Возможен только один вариант распределения: сумма цифр одного числа равна $9$, а другого — $18$.
Если число содержит цифру $9$, то для того чтобы сумма его цифр была равна $9$, все остальные цифры должны быть нулями. Но у нас только один нуль, и числа должны быть как минимум трёхзначными. Значит, цифра $9$ обязательно входит в число с суммой цифр $18$.
Рассмотрим, в каком числе может находиться $9$. Если $9$ входит в трёхзначное число, то сумма двух оставшихся цифр должна быть $18 - 9 = 9$. При этом одна из них — $0$ или $5$. Тогда третья цифра должна быть $9$ или $4$, но таких цифр в наборе нет. Следовательно, $9$ является частью четырёхзначного числа. Возможны два случая распределения цифр:

1) Четырёхзначное число содержит цифры $9$ и $0$. Чтобы сумма его цифр была $18$, оставшиеся две цифры должны быть $7$ и $2$. Максимальное такое число, делящееся на $45$ (оканчивается на $0$), — это $9720$. Тогда для трёхзначного числа остаются цифры $1, 3, 5$. Наибольшее число из них, кратное $45$ (оканчивается на $5$), — это $315$. Сумма: $9720 + 315 = 10035$.
2) Четырёхзначное число содержит цифры $9$ и $5$. Для суммы цифр $18$ добавим $3$ и $1$. Наибольшее число, кратное $45$ (оканчивается на $5$), будет $9315$. Оставшиеся цифры $7, 2, 0$ образуют трёхзначное число, кратное $45$ (оканчивается на $0$), максимум которого $720$. Сумма: $9315 + 720 = 10035$.
Таким образом, наибольшее значение суммы составляет $10035$.

Критерии оценивания:
— Полное обоснованное решение всех пунктов — 4 балла
— Обоснованно решены пункты а) и в) или б) и в) — 3 балла
— Обоснованно решен только пункт в) или оба пункта а) и б) — 2 балла
— Обоснованно решен только пункт а) или только пункт б) — 1 балл
— Решение не соответствует критериям — 0 баллов