Задание №18 — Уравнения с параметром

Разбор задачи:
Исходное уравнение $\sqrt{x^{2} - a^{2}} = \sqrt{4 x^{2} - ( 4 a + 2 ) x + 2 a}$ равносильно следующей смешанной системе:
$\left\{\begin{matrix} x^{2} - a^{2} = 4 x^{2} - ( 4 a + 2 ) x + 2 a \\ x^{2} - a^{2} \geq 0 \end{matrix}\right.$
Здесь условие $x^{2} - a^{2} \geq 0$ обеспечивает область определения для обеих частей уравнения.

1. Разберем неравенство: $( x - a ) ( x + a ) \geq 0$.
2. Преобразуем квадратное уравнение:
$3 x^{2} - ( 4 a + 2 ) x + a^{2} + 2 a = 0$.
Вычислим четверть дискриминанта:
$\frac{D}{4} = ( 2 a + 1 )^{2} - 3 ( a^{2} + 2 a ) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 3 a^{2} - 6 a = a^{2} - 2 a + 1 = ( a - 1 )^{2}$.
Находим корни уравнения:
$x_{1} = \frac{(2 a + 1) + (a - 1)}{3} = a$;
$x_{2} = \frac{(2 a + 1) - (a - 1)}{3} = \frac{a + 2}{3}$.

Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $( x - a ) ( x + a ) \geq 0$:
$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x = a \\ x = \frac{a + 2}{3} \end{matrix} \right. \\ ( x - a ) ( x + a ) \geq 0 \end{matrix}\right.$

Воспользуемся графическим методом в плоскости $(x; a)$:


Анализируя область допустимых значений на отрезке $[0; 1]$, найдем точку пересечения прямых:
$\frac{a + 2}{3} = -a$ (так как $x = \frac{a+2}{3}$ и граница области $x = -a$),
$a + 2 = -3a$,
$4a = -2$,
$a = -0{,}5$.
С учетом графической интерпретации и условий задачи, искомые значения параметра:
$a \in [ - 0{,}5 ; 0 ) \cup \{ 1 \}$

Критерии оценивания:
— 4 балла: решение полностью обосновано, получен верный ответ.
— 3 балла: ход решения верен, но допущена одна арифметическая ошибка или недостаточно пояснений.
— 2 балла: логика решения верна, но присутствует одна невычислительная ошибка.
— 1 балл: найдены лишь некоторые подходящие значения параметра, в решении более одной ошибки.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным выше пунктам.

Ответ: $a \in [ - 0{,}5 ; 0 ) \cup \{ 1 \}$

Источник: ФИПИ