Решение:
а) Проанализируем свойства четырёхугольника $AC_1HB_1$. По условию высоты образуют прямые углы: $\angle AC_1C = \angle AB_1B = 90^{\circ}$. Так как сумма противоположных углов $AC_1H$ и $AB_1H$ составляет $180^{\circ}$, то и сумма двух других углов ($\angle C_1HB_1$ и $\angle C_1AB_1$) также будет $180^{\circ}$. Это позволяет описать вокруг данного четырёхугольника окружность. В этой окружности углы $\angle C_1B_1H$ и $\angle C_1AH$ опираются на одну и ту же дугу $C_1H$, следовательно, они равны, что и требовалось доказать.

б) Согласно теореме о вписанном угле, центральный угол $\angle BOC$ в два раза больше вписанного $\angle BAC$, то есть $\angle BOC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Поскольку $OB = OC$ как радиусы, треугольник $BOC$ является равнобедренным с углом $60^{\circ}$, а значит, он равносторонний.
Заметим, что точки $B, C_1, B_1, C$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$, так как из точек $C_1$ и $B_1$ отрезок $BC$ виден под прямым углом. В таком вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$. Если обозначить $\angle ABC = \alpha$, то $\angle C_1B_1C = 180^{\circ} - \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle AB_1C_1$ будет равен $\alpha$.
Отсюда следует, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны (по двум углам: общий угол $A$ и равные углы при вершинах $B$ и $B_1$).
Коэффициент подобия равен $\frac{AB_1}{AB} = \cos \angle A = \cos 30^{\circ}$ (из прямоугольного треугольника $ABB_1$).
Тогда $\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда находим сторону $BC = \frac{2 \cdot B_1C_1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 18}{\sqrt{3}}$.
Искомое расстояние от центра $O$ до стороны $BC$ — это высота $OD$ в равностороннем треугольнике $COB$:
$$OD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 18}{\sqrt{3}} = 18.$$

Ответ: 18

Источник: ФИПИ