Разбор решения:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log _{11} \left(2 x^{2} + 1\right) + \log _{11} \left(\frac{1}{32 x} + 1\right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{16} + 1\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 2 x^{2} + 1 > 0 \\ \frac{1}{32 x} + 1 > 0 \\ \frac{x}{16} + 1 > 0 \\ 32 x \neq 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ \frac{1+32x}{32x} > 0 \\ x > -16 \\ x \neq 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1/32) \cup (0; +\infty) \\ x > -16 \end{cases}$
Таким образом, допустимые значения переменной: $x \in (-16; -1/32) \cup (0; +\infty)$.

Перейдем к преобразованию неравенства. Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием, объединим слагаемые в левой части:
$\log _{11} \left( (2 x^{2} + 1) \cdot (\frac{1}{32x} + 1) \right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{16} + 1\right)$.
Так как основание логарифма $11 > 1$, функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов:
$(2 x^{2} + 1) \left(\frac{1}{32 x} + 1\right) \geq \frac{x}{16} + 1$.
Раскроем скобки слева:
$\frac{2 x^{2}}{32 x} + 2 x^{2} + \frac{1}{32 x} + 1 \geq \frac{x}{16} + 1$.
Упростим выражение, сократив дробь и вычтя единицу из обеих частей:
$\frac{x}{16} + 2 x^{2} + \frac{1}{32 x} \geq \frac{x}{16}$.
После сокращения на $\frac{x}{16}$ получаем:
$2 x^{2} + \frac{1}{32 x} \geq 0$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{64 x^{3} + 1}{32 x} \geq 0$.
Найдем критические точки. Числитель обращается в нуль при $64x^3 = -1$, то есть $x = -1/4$. Знаменатель обращается в нуль при $x = 0$.
Применим метод интервалов для полученной рациональной дроби:
$x \in (-\infty; -1/4] \cup (0; +\infty)$.

Теперь сопоставим полученное решение с найденной ранее областью допустимых значений:
$\begin{cases} x \in (-\infty; -1/4] \cup (0; +\infty) \\ x \in (-16; -1/32) \cup (0; +\infty) \end{cases}$
В результате пересечения множеств получаем итоговый интервал:
$x \in (-16; -1/4] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-16; -1/4] \cup (0; +\infty)$

Источник: ФИПИ