Задание 15

Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий

Задание №15
№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники

Задание №15 — Расстояние между прямыми и плоскостями

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD – ромб.
а) Докажите, что точка M – середина ребра AA₁.
б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Проанализируем прямоугольные треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$ . Учитывая, что сечение является ромбом, стороны $MD$ и $B_1M$ равны. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, следовательно, $AD = A_1B_1$ . Также, в силу правильности призмы, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Таким образом, треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников вытекает, что $AM = A_1M$ . Это означает, что точка $M$ делит ребро $AA_1$ пополам, что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся формулой связи площади фигуры и её ортогональной проекции: площадь проекции равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостями. В данном случае проекцией ромба $MB_1KD$ на плоскость основания является квадрат $ABCD$ . Найдём косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и основанием:
$\cos \alpha = \frac{S_{ABCD}}{S_{MB_1KD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}.$
Рассмотрим треугольник $B_1BD$ . Отрезок $BD$ является диагональю квадрата, лежащего в основании.
$BD = \sqrt{2 \cdot S_{ABCD}} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}.$
Используя тангенс угла наклона сечения, вычислим высоту призмы $BB_1$ :
$\tan 60^{\circ} = \frac{BB_1}{BD} \Rightarrow BB_1 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2}.$

Критерии оценивания:
— Полное и корректное доказательство пункта а) вместе с верным решением пункта б) — 3 балла
— Верное решение пункта б) или наличие доказательства а) при условии, что в б) допущена лишь вычислительная ошибка — 2 балла
— Наличие только доказательства а), или обоснованное решение б) с арифметической ошибкой, или верный ответ в б) без доказательства а) — 1 балл
— Несоответствие решения указанным критериям — 0 баллов

Ответ: $3\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ