Задание №14 — Расстояние между прямыми и плоскостями

Решение:
а) Проанализируем прямоугольные треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$. Учитывая, что сечение является ромбом, стороны $MD$ и $B_1M$ равны. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, следовательно, $AD = A_1B_1$. Также, в силу правильности призмы, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Таким образом, треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников вытекает, что $AM = A_1M$. Это означает, что точка $M$ делит ребро $AA_1$ пополам, что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся формулой связи площади фигуры и её ортогональной проекции: площадь проекции равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостями. В данном случае проекцией ромба $MB_1KD$ на плоскость основания является квадрат $ABCD$. Найдём косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и основанием:
$$\cos \alpha = \frac{S_{ABCD}}{S_{MB_1KD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}.$$
Рассмотрим треугольник $B_1BD$. Отрезок $BD$ является диагональю квадрата, лежащего в основании.
$$BD = \sqrt{2 \cdot S_{ABCD}} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}.$$
Используя тангенс угла наклона сечения, вычислим высоту призмы $BB_1$:
$$\tan 60^{\circ} = \frac{BB_1}{BD} \Rightarrow BB_1 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2}.$$

Критерии оценивания:
— Полное и корректное доказательство пункта а) вместе с верным решением пункта б) — 3 балла
— Верное решение пункта б) или наличие доказательства а) при условии, что в б) допущена лишь вычислительная ошибка — 2 балла
— Наличие только доказательства а), или обоснованное решение б) с арифметической ошибкой, или верный ответ в б) без доказательства а) — 1 балл
— Несоответствие решения указанным критериям — 0 баллов

Ответ: $3\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ