Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos(x) - \sqrt{3} \sin^2(x) = 2 \cos^3(x)$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^2(x)$ на $(1 - \cos^2(x))$:
$2 \cos(x) - \sqrt{3}(1 - \cos^2(x)) = 2 \cos^3(x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть и раскроем скобки:
$2 \cos(x) - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cos^2(x) - 2 \cos^3(x) = 0$
Сгруппируем слагаемые для вынесения общего множителя:
$2 \cos(x)(1 - \cos^2(x)) - \sqrt{3}(1 - \cos^2(x)) = 0$
$(2 \cos(x) - \sqrt{3})(1 - \cos^2(x)) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} 2 \cos(x) - \sqrt{3} = 0 \\ 1 - \cos^2(x) = 0 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos(x) = \pm 1 \end{matrix}\right.$
Решая полученные простейшие уравнения, находим серии корней:
$\left[\begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$, используя метод двойного неравенства.
1) Для серии $x = \pi n$:
$-\frac{7\pi}{2} \leq \pi n \leq -2\pi$
$-3{,}5 \leq n \leq -2$
Целые значения $n$: $-3$ и $-2$.
При $n = -3$: $x_1 = -3\pi$.
При $n = -2$: $x_2 = -2\pi$.
2) Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:
$-\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -2\pi$
Разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{6}$:
$-\frac{7}{2} - \frac{1}{6} \leq 2k \leq -2 - \frac{1}{6}$
$-\frac{11}{3} \leq 2k \leq -\frac{13}{6}$
$-\frac{11}{6} \leq k \leq -\frac{13}{12}$
В данном промежутке целых значений $k$ нет ($-1{,}83... \leq k \leq -1{,}08...$).
3) Для серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$:
$-\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -2\pi$
Разделим на $\pi$ и прибавим $\frac{1}{6}$:
$-\frac{7}{2} + \frac{1}{6} \leq 2k \leq -2 + \frac{1}{6}$
$-\frac{10}{3} \leq 2k \leq -\frac{11}{6}$
$-\frac{5}{3} \leq k \leq -\frac{11}{12}$
Единственное целое значение $k = -1$.
При $k = -1$: $x_3 = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi; -2\pi; -\frac{13\pi}{6}$

Источник: ФИПИ