Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Для начала преобразуем исходное уравнение к виду:
$\sqrt{1 - 2 x} \cdot ( \ln ( 25 x^{2} - a^{2} ) - \ln ( 5 x - a ) ) = 0 .$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии соблюдения области определения. Проанализируем возможные ситуации.

1. Первый случай (обнуление корня):
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1 - 2 x} = 0 , \\ 25 x^{2} - a^{2} > 0 , \\ 5 x - a > 0 \end{matrix}\right.$
Из первого уравнения получаем $x = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в условия для логарифмов:
$\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} , \\ (5x - a)(5x + a) > 0 , \\ 5 x - a > 0 \end{matrix}\right.$   $\Rightarrow$   $\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} , \\ \frac{5}{2} + a > 0 , \\ \frac{5}{2} - a > 0 \end{matrix}\right.$
Следовательно, корень $x = \frac{1}{2}$ существует при условии $-\frac{5}{2} < a < \frac{5}{2}$.

2. Второй случай (равенство выражений под логарифмами):
$\left\{\begin{matrix} \ln ( 25 x^{2} - a^{2} ) = \ln ( 5 x - a ) , \\ 1 - 2 x \geq 0 \end{matrix}\right.$
Перейдем к потенцированию с учетом ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} (5x - a)(5x + a) = 5x - a , \\ 5 x - a > 0 , \\ x \leq \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$
Так как $5x - a \neq 0$, разделим на него обе части первого уравнения:
$\left\{\begin{matrix} 5 x + a = 1 , \\ 5 x - a > 0 , \\ 1 - 2 x \geq 0 \end{matrix}\right.$   $\Rightarrow$   $\left\{\begin{matrix} x = \frac{1 - a}{5} , \\ (1 - a) - a > 0 , \\ 1 - 2(\frac{1 - a}{5}) \geq 0 \end{matrix}\right.$
Решая систему неравенств относительно $a$, находим:
$\left\{\begin{matrix} x = \frac{1 - a}{5} , \\ a < \frac{1}{2} , \\ a \geq -\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$
Таким образом, второй корень $x = \frac{1 - a}{5}$ существует при $-\frac{3}{2} \leq a < \frac{1}{2}$.

Заметим, что значения корней совпадают, если $\frac{1 - a}{5} = \frac{1}{2}$, что дает $a = -\frac{3}{2}$.
Проведем анализ количества решений в зависимости от параметра $a$:
— если $a \leq -\frac{5}{2}$, корней нет;
— если $-\frac{5}{2} < a \leq -\frac{3}{2}$, имеется единственный корень $x = \frac{1}{2}$ (при $a = -\frac{3}{2}$ корни совпадают);
— если $-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$, в наличии два различных корня: $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{1 - a}{5}$;
— если $\frac{1}{2} \leq a < \frac{5}{2}$, остается только один корень $x = \frac{1}{2}$ (второй корень выходит за границы ОДЗ);
— если $a \geq \frac{5}{2}$, решений нет.

Уравнение обладает ровно одним корнем при $a \in (-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Критерии оценивания:
4 балла – решение полностью обосновано, получен верный ответ.
3 балла – ход решения верен, получен правильный ответ, но есть небольшие недочеты в оформлении.
2 балла – допущена одна вычислительная ошибка, не меняющая логики решения, ИЛИ верно найдены все критические точки, но неверно выбраны интервалы.
1 балл – задача правильно сведена к исследованию системы уравнений и неравенств, ИЛИ начато верное графическое исследование с учетом ограничений.
0 баллов – решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $( - \frac{5}{2} ; - \frac{3}{2} ] \cup [ \frac{1}{2} ; \frac{5}{2} )$

Источник: ФИПИ