Задание №14 — Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Решение:

а) Поскольку фигура $KLMN$ является квадратом, стороны $KN$ и $LM$ параллельны друг другу. Из этого следует, что прямая $LM$ параллельна плоскости основания $ABC.$ Так как прямые $LM$ и $AB$ лежат в одной плоскости $ADB$ и не пересекаются (в силу параллельности $LM$ и плоскости $ABC$), они параллельны между собой. Таким образом, $KN \parallel LM \parallel AB.$ Рассуждая аналогично для другой пары сторон квадрата, получаем, что $KL \parallel MN \parallel CD.$ Применяя теорему Фалеса к треугольникам $ACB$ и $CBD$, находим отношение отрезков:
$$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3}.$$

б) Искомое расстояние от вершины $C$ до плоскости $KLM$ совпадает с высотой пирамиды $CKMN,$ опущенной из точки $C.$ В основании этой пирамиды лежит прямоугольный треугольник $KMN,$ площадь которого вычисляется как:
$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = 2.$
Тогда искомое расстояние $d$ можно выразить через объем пирамиды:
$d(C, KMN) = \frac{3 V_{CKMN}}{S_{KMN}}.$
Обозначим через $DH$ высоту исходного тетраэдра $DABC,$ а через $MH_1$ — высоту пирамиды $MKCN.$ Свяжем объем $MKCN$ с объемом $DABC:$
$V_{MKCN} = \frac{1}{3} \cdot MH_1 \cdot S_{CKN} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{5} DH\right) \cdot \left(\frac{9}{25} S_{ABC}\right) = \frac{18}{125} V_{DABC}.$
Учитывая, что $V_{DABC} = 25,$ получаем:
$V_{MKCN} = \frac{18}{125} \cdot 25 = \frac{18}{5}.$
Вычисляем финальное значение расстояния:
$d(C, KMN) = \frac{3 \cdot \frac{18}{5}}{2} = \frac{54}{10} = 5{,}4.$

Критерии оценивания:
3 балла — приведено полностью верное доказательство в пункте а) и получен правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), либо доказан пункт а) при наличии одной арифметической ошибки в пункте б).
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решен с опорой на пункт а) (даже если тот не доказан), либо допущена ошибка в вычислениях при верном ходе решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: б) $5{,}4$

Источник: ФИПИ