Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Преобразуем исходное уравнение, разложив разность квадратов под знаком модуля:
$\left|x - a\right| \cdot \left|x + a\right| = \left|x + a\right| \cdot \sqrt{x^{2} - 4ax + 5a}$
Данное уравнение равносильно совокупности двух случаев:
1) Множитель $\left|x + a\right|$ равен нулю (при условии, что корень определен):
$\left\{\begin{matrix} x = -a \\ x^{2} - 4ax + 5a \geq 0 \end{matrix}\right.$
Подставим $x = -a$ в неравенство:
$(-a)^{2} - 4a(-a) + 5a \geq 0 \Rightarrow 5a^2 + 5a \geq 0 \Rightarrow 5a(a + 1) \geq 0$
Отсюда получаем значения параметра: $a \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.
2) Множитель $\left|x + a\right|$ не равен нулю, тогда на него можно сократить:
$\left\{\begin{matrix} x \neq -a \\ \left|x - a\right| = \sqrt{x^{2} - 4ax + 5a} \end{matrix}\right.$
Возведем обе части во вторую степень:
$\left\{\begin{matrix} x \neq -a \\ x^2 - 2ax + a^2 = x^2 - 4ax + 5a \end{matrix}\right.$
Упростим уравнение:
$2ax = 5a - a^2$
Рассмотрим подслучаи для второго условия:
— Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $0 = 0$, что верно для любого $x$. С учетом $x \neq -a$, получаем бесконечно много решений $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
— Если $a \neq 0$, то $x = \frac{5a - a^2}{2a} = \frac{5 - a}{2}$.
Проверим условие $x \neq -a$:
$\frac{5 - a}{2} \neq -a \Rightarrow 5 - a \neq -2a \Rightarrow a \neq -5$.
Таким образом, при $a \neq 0$ и $a \neq -5$ имеем корень $x = \frac{5 - a}{2}$.

Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:
• Если $a \in (0; +\infty)$, то решения есть и в первом случае ($x = -a$), и во втором ($x = \frac{5-a}{2}$). При $a > 0$ эти корни не совпадают (так как $a \neq -5$), значит, корней минимум два. Этот интервал не подходит.
• Если $a = 0$, уравнение имеет бесконечное множество решений, что не удовлетворяет условию задачи.
• Если $a \in (-1; 0)$, то первое условие не выполняется (нет корней), а второе дает ровно один корень $x = \frac{5 - a}{2}$. Эти значения нам подходят.
• Если $a \in (-\infty; -1] \setminus \{-5\}$, то оба случая дают по одному корню. Проверим их совпадение: $-a = \frac{5-a}{2} \Rightarrow -2a = 5 - a \Rightarrow a = -5$. Значит, на данном промежутке (кроме точки $-5$) будет два различных корня. Не подходит.
• Если $a = -5$, то корень из второго случая не существует (нарушается $x \neq -a$), а первый случай дает ровно один корень $x = 5$. Это значение подходит.

Следовательно, ровно один корень наблюдается при $a \in \{-5\} \cup (-1; 0)$.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений $a$, отличающееся от искомого конечным числом точек - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$ - 2 балла
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$ - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: $a \in \{-5\} \cup (-1; 0)$.

Источник: ФИПИ