Решение:
а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ и подставим её в исходное уравнение:
$4 \cos^3 x - 2 \sqrt{3} (2 \cos^2 x - 1) + 3 \cos x = 2 \sqrt{3}$
Раскроем скобки в левой части:
$4 \cos^3 x - 4 \sqrt{3} \cos^2 x + 2 \sqrt{3} + 3 \cos x = 2 \sqrt{3}$
После сокращения слагаемого $2 \sqrt{3}$ в обеих частях получим:
$4 \cos^3 x - 4 \sqrt{3} \cos^2 x + 3 \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (4 \cos^2 x - 4 \sqrt{3} \cos x + 3) = 0$
Заметим, что выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(2 \cos x - \sqrt{3})^2$:
$\cos x (2 \cos x - \sqrt{3})^2 = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} \cos x = 0 \\ 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \end{matrix}\right.$
Откуда находим значения косинуса:
$\left[\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Запишем общие решения уравнения:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
(Заметим, что $-\frac{\pi}{6} + 2 \pi k$ можно представить как $\frac{11 \pi}{6} + 2 \pi k$).
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $[2 \pi; \frac{7 \pi}{2}]$ методом решения двойных неравенств.
1) Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
$2 \pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{7 \pi}{2}$
Разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{2}$:
$1,5 \leq k \leq 3$
Целые значения $k$: $2$ и $3$.
При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi = \frac{5 \pi}{2}$.
При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3 \pi = \frac{7 \pi}{2}$.
2) Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k$:
$2 \pi \leq \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leq \frac{7 \pi}{2}$
$2 - \frac{1}{6} \leq 2 k \leq \frac{7}{2} - \frac{1}{6}$
$\frac{11}{6} \leq 2 k \leq \frac{20}{6}$
$\frac{11}{12} \leq k \leq \frac{20}{12}$
Единственное целое $k = 1$.
Тогда $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi = \frac{13 \pi}{6}$.
3) Для серии $x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi k$:
$2 \pi \leq \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi k \leq \frac{7 \pi}{2}$
$\frac{1}{6} \leq 2 k \leq \frac{10}{6}$
$\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{10}{12}$
В данном интервале целых значений $k$ нет.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$

Источник: ФИПИ