Задание №15 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $16^{\frac{1}{x} - 1} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0$.
Заметим, что $16 = 4^2$, тогда выражение можно переписать в виде: $\left(4^{\frac{1}{x} - 1}\right)^{2} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0$.
Введем новую переменную $t = 4^{\frac{1}{x} - 1}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^{2} - t - 2 \geq 0$.
Для разложения левой части на множители найдем корни уравнения $t^{2} - t - 2 = 0$:
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_{1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ и $t_{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
Следовательно, неравенство принимает вид: $(t - 2)(t + 1) \geq 0$.
Решим его относительно $t$ с помощью метода интервалов:

Учитывая условие $t > 0$, получаем решение: $t \geq 2$.
Выполним обратную подстановку:
$4^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2$
Приведем обе части к основанию $2$:
$(2^2)^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2^1$
$2^{\frac{2}{x} - 2} \geq 2^1$
Так как основание $2 > 1$, переходим к сравнению показателей:
$\frac{2}{x} - 2 \geq 1$
$\frac{2}{x} - 3 \geq 0$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{2 - 3x}{x} \geq 0$.
Определим критические точки: числитель равен нулю при $x = \frac{2}{3}$, знаменатель не равен нулю при $x \neq 0$.

Согласно распределению знаков на числовой прямой, решением является промежуток: $x \in (0; \frac{2}{3}]$.

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью верно и обосновано.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: $(0; \frac{2}{3}]$

Источник: ФИПИ