Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\left( 9^{x} - 3^{x + 1} \right)^{2} + 8 \cdot 3^{x + 1} < 8 \cdot 9^{x} + 20$.
Преобразуем степени, используя свойства $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$:
$\left( 3^{2x} - 3 \cdot 3^{x} \right)^{2} + 8 \cdot 3 \cdot 3^{x} < 8 \cdot 3^{2x} + 20$.
Введем новую переменную $t = 3^{x}$, учитывая, что $t > 0$.
Получаем неравенство относительно $t$:
$(t^2 - 3t)^2 + 24t < 8t^2 + 20$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
$(t^2 - 3t)^2 - 8t^2 + 24t - 20 < 0$,
$(t^2 - 3t)^2 - 8(t^2 - 3t) - 20 < 0$.
Для упрощения сделаем еще одну замену: пусть $y = t^2 - 3t$.
Тогда имеем квадратное неравенство: $y^2 - 8y - 20 < 0$.
Разложим левую часть на множители: $(y - 10)(y + 2) < 0$.

Решением относительно $y$ является интервал $-2 < y < 10$.
Вернемся к переменной $t$, перейдя к системе неравенств:
$\begin{cases} t^2 - 3t > -2 \\ t^2 - 3t < 10 \end{cases}$
Приведем каждое неравенство к стандартному виду:
$\begin{cases} t^2 - 3t + 2 > 0 \\ t^2 - 3t - 10 < 0 \end{cases}$
Разложим квадратные трехчлены на линейные множители:
$\begin{cases} (t - 1)(t - 2) > 0 \\ (t - 5)(t + 2) < 0 \end{cases}$

Находим пересечение решений системы:
$\begin{cases} t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \\ t \in (-2; 5) \end{cases}$
С учетом условия $t > 0$, получаем допустимые значения для $t$:
$t \in (0; 1) \cup (2; 5)$.
Выполним обратную замену для $3^x$:
$0 < 3^x < 1$ или $2 < 3^x < 5$.
Решая эти простейшие показательные неравенства, находим $x$:
$x < 0$ или $\log_3 2 < x < \log_3 5$.
Таким образом, $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$.

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью обосновано и получен верный ответ.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка, не влияющая на общую логику решения, ИЛИ в ответе неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$

Источник: ФИПИ