Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $4 \sin ^{3} x + 4 \sqrt{3} \cos ^{2} x + 3 \sin x = 4 \sqrt{3}$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:
$4 \sin ^{3} x + 4 \sqrt{3} ( 1 - \sin ^{2} x ) + 3 \sin x - 4 \sqrt{3} = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4 \sin ^{3} x + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sin ^{2} x + 3 \sin x - 4 \sqrt{3} = 0$,
$4 \sin ^{3} x - 4 \sqrt{3} \sin ^{2} x + 3 \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x \cdot (4 \sin ^{2} x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$, откуда получаем первую серию корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $4 \sin ^{2} x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 = 0$.
Пусть $\sin x = t$, где $|t| \leq 1$. Тогда уравнение принимает вид квадратного:
$4 t^{2} - 4 \sqrt{3} t + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-4 \sqrt{3})^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 - 48 = 0$.
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
$t = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возвращаясь к переменной $x$, имеем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что дает две серии решений:
$x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$.
1. Для серии $x = \pi n$:
$\pi \leq \pi n \leq \frac{5 \pi}{2} \Rightarrow 1 \leq n \leq 2,5$.
Целые значения $n = 1$ и $n = 2$.
При $n = 1$ получаем $x = \pi$.
При $n = 2$ получаем $x = 2 \pi$.
2. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi k$:
$\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leq \frac{5 \pi}{2}$
Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:
$\frac{2 \pi}{3} \leq 2 \pi k \leq \frac{13 \pi}{6}$
Разделим на $2\pi$:
$\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{13}{12} \Rightarrow \frac{1}{3} \leq k \leq 1 \frac{1}{12}$.
Единственное целое значение $k = 1$.
При $k = 1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi = \frac{7 \pi}{3}$.
3. Для серии $x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m$:
$\pi \leq \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m \leq \frac{5 \pi}{2}$
Вычтем $\frac{2 \pi}{3}$:
$\frac{\pi}{3} \leq 2 \pi m \leq \frac{11 \pi}{6}$
Разделим на $2\pi$:
$\frac{1}{6} \leq m \leq \frac{11}{12}$.
В данном интервале целых чисел нет, следовательно, корней в этой серии на заданном отрезке нет.

Ответ: а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$; б) $\pi; 2 \pi; \frac{7 \pi}{3}$

Источник: ФИПИ