Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \cos ^{3} x + \cos x + 2 \sqrt{2} \sin ^{2} x = 2 \sqrt{2}$.
Применим основное тригонометрическое тождество, заменив $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2 \cos ^{3} x + \cos x + 2 \sqrt{2} ( 1 - \cos ^{2} x ) - 2 \sqrt{2} = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 \cos ^{3} x + \cos x + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cos ^{2} x - 2 \sqrt{2} = 0$,
$2 \cos ^{3} x - 2 \sqrt{2} \cos ^{2} x + \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x ( 2 \cos ^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos x + 1 ) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
2) Квадратное уравнение относительно косинуса: $2 \cos ^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$.
Пусть $\cos x = t$, тогда $2 t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = ( - 2 \sqrt{2} )^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 - 8 = 0$.
Уравнение имеет один корень: $t = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Возвращаясь к переменной $x$, имеем: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает нам значения $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней, попадающих в промежуток $\left[– 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя тригонометрическую окружность.

На указанном отрезке получаем следующие значения:
$x_{1} = - 4 \pi + \frac{\pi}{4} = - \frac{15 \pi}{4}$;
$x_{2} = - 4 \pi + \frac{\pi}{2} = - \frac{7 \pi}{2}$;
$x_{3} = - \frac{5 \pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{15 \pi}{4}; - \frac{7 \pi}{2}; - \frac{5 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ