Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos x \left(2 \cos ^{2} \frac{x}{2} – 1\right) = \cos ( x + \pi )$.
Преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла:
$$2 \cos ^{2} \frac{x}{2} - 1 = \cos \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x$$
Для правой части уравнения применим формулу приведения (или формулу косинуса суммы):
$$\cos ( x + \pi ) = -\cos x$$
Подставим полученные выражения в уравнение:
$$\cos x \cdot \cos x = - \cos x$$
$$\cos ^{2} x + \cos x = 0$$
Вынесем общий множитель за скобки:
$$\cos x ( \cos x + 1 ) = 0$$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z}$;
2) $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = - 1$, что дает серию $x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} .$

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$, воспользовавшись тригонометрическим кругом.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = \frac{\pi}{2}$ (граница промежутка);
$x_{2} = \pi$ (корень из второй серии);
$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$ (вторая точка из первой серии).
Значение $2\pi$ не является корнем уравнения.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ