Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\cos x \left(2 \cos ^{2} \frac{x}{2} – 1\right) = \cos ( x + \pi ) .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos x \left(2 \cos ^{2} \frac{x}{2} – 1\right) = \cos ( x + \pi )$ .
Преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла:
$2 \cos ^{2} \frac{x}{2} - 1 = \cos \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x$
Для правой части уравнения применим формулу приведения (или формулу косинуса суммы):
$\cos ( x + \pi ) = -\cos x$
Подставим полученные выражения в уравнение:
$\cos x \cdot \cos x = - \cos x$
$\cos ^{2} x + \cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x ( \cos x + 1 ) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$ , откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z}$ ;
2) $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = - 1$ , что дает серию $x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} .$

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ , воспользовавшись тригонометрическим кругом.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = \frac{\pi}{2}$ (граница промежутка);
$x_{2} = \pi$ (корень из второй серии);
$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$ (вторая точка из первой серии).
Значение $2\pi$ не является корнем уравнения.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ