Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H .$
а) Докажите, что $\angle AHB_{1} = \angle ACB .$
б) Найдите $BC ,$ если $AH = 4$ и $\angle BAC = 60^{\circ} .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $AC_{1}HB_{1}$ . Поскольку углы $\angle AC_{1}H$ и $\angle AB_{1}H$ являются прямыми, сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ , что позволяет описать вокруг него окружность с диаметром $AH$ . Вписанные в эту окружность углы $AHB_{1}$ и $AC_{1}B_{1}$ опираются на одну и ту же дугу $AB_{1}$ , поэтому $\angle AHB_{1} = \angle AC_{1}B_{1}$ .
Далее заметим, что точки $B, C, B_{1}, C_{1}$ лежат на одной окружности, так как отрезки $BB_{1}$ и $CC_{1}$ являются высотами, и из точек $B_{1}, C_{1}$ сторона $BC$ видна под прямым углом (диаметр этой окружности — $BC$ ). В таком вписанном четырёхугольнике внешний угол при вершине $C_{1}$ равен внутреннему углу при противоположной вершине $C$ , то есть $\angle AC_{1}B_{1} = \angle ACB$ .
Объединяя эти равенства, получаем искомое соотношение: $\angle ACB = \angle AHB_{1}$ .
б) Для треугольника $AB_{1}C_{1}$ отрезок $AH$ является диаметром описанной окружности. По следствию из теоремы синусов имеем:
$B_{1}C_{1} = AH \cdot \sin \angle A = 4 \cdot \sin 60^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABB_{1}$ и $ACC_{1}$ . Из них находим прилежащие к углу $A$ катеты:
$AB_{1} = AB \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} AB$ ;
$AC_{1} = AC \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} AC$ .
Таким образом, стороны треугольников $ABC$ и $AB_{1}C_{1}$ , образующие общий угол $A$ , пропорциональны: $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} = 2$ . Это означает, что $\triangle ABC \sim \triangle AB_{1}C_{1}$ по второму признаку подобия.
Коэффициент подобия равен $2$ , следовательно:
$BC = 2 \cdot B_{1}C_{1} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Ответ: $4 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ