Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} \frac{1}{x} - 1 > 0 \\ \frac{1}{x} + 1 > 0 \\ 8x - 1 > 0 \end{cases}$
Преобразуем дробные выражения:
$\begin{cases} \frac{1 - x}{x} > 0 \\ \frac{1 + x}{x} > 0 \\ x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Решая каждое условие системы, получаем:
$\begin{cases} x \in (0; 1) \\ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ x > \frac{1}{8} \end{cases}$
Пересечение этих интервалов дает итоговую ОДЗ: $x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right)$.

Перейдем к решению самого неравенства. Поскольку основание логарифма $3$ больше единицы, логарифмическая функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства:
$\begin{cases} \frac{1}{8} < x < 1 \\ \left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right) \leq 8x - 1 \end{cases}$
Воспользуемся формулой разности квадратов в левой части:
$\frac{1}{x^2} - 1 \leq 8x - 1$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\frac{1}{x^2} - 8x \leq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 - 8x^3}{x^2} \leq 0$
Разложим числитель как разность кубов:
$\frac{(1 - 2x)(1 + 2x + 4x^2)}{x^2} \leq 0$
Заметим, что квадратный трехчлен $4x^2 + 2x + 1$ всегда положителен (так как его дискриминант $D = 4 - 16 = -12 < 0$), а $x^2 > 0$ на всей ОДЗ. Следовательно, знак выражения зависит только от множителя $(1 - 2x)$:
$\begin{cases} x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right) \\ 1 - 2x \leq 0 \end{cases}$
Откуда получаем:
$\begin{cases} x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right) \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
Объединяя эти условия, находим итоговое множество решений: $x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)$.

Ответ: $[\frac{1}{2}; 1)$

Источник: ФИПИ