Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $\cos ^{2} ( \pi - x ) - \sin ( \frac{3 \pi}{2} + x ) = 0 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 2 \pi ; – \frac{\pi}{2} \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель за скобки: $\cos x ( \cos x + 1 ) = 0$ .
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю:
$\cos x = 0$ или $\cos x + 1 = 0$ .
Получаем совокупность простейших тригонометрических уравнений:
$\left[\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = - 1 \end{matrix}\right.$
Решения данных уравнений имеют вид:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Выполним отбор корней, которые попадают в заданный промежуток $[ - 2 \pi ; – \frac{\pi}{2} ]$ . Воспользуемся методом перебора целых значений параметров $n$ и $k$ .

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ :
При $n = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ — не входит в отрезок;
При $n = - 1$ получаем $x = - \frac{\pi}{2}$ — входит в отрезок;
При $n = - 2$ получаем $x = - \frac{3\pi}{2}$ — входит в отрезок;
При $n = - 3$ получаем $x = - \frac{5\pi}{2}$ — не входит в отрезок.
Для второй серии решений $x = \pi + 2 \pi k$ :
При $k = 0$ получаем $x = \pi$ — не входит в отрезок;
При $k = - 1$ получаем $x = - \pi$ — входит в отрезок;
При $k = - 2$ получаем $x = - 3 \pi$ — не входит в отрезок.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + 2 \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $- \frac{3\pi}{2}; - \pi; - \frac{\pi}{2}$

Источник: ФИПИ