Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель за скобки: $\cos x ( \cos x + 1 ) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю:
$\cos x = 0$ или $\cos x + 1 = 0$.
Получаем совокупность простейших тригонометрических уравнений:
$\left[\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = - 1 \end{matrix}\right.$
Решения данных уравнений имеют вид:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Выполним отбор корней, которые попадают в заданный промежуток $[ - 2 \pi ; – \frac{\pi}{2} ]$. Воспользуемся методом перебора целых значений параметров $n$ и $k$.

Для первой серии решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
При $n = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ — не входит в отрезок;
При $n = - 1$ получаем $x = - \frac{\pi}{2}$ — входит в отрезок;
При $n = - 2$ получаем $x = - \frac{3\pi}{2}$ — входит в отрезок;
При $n = - 3$ получаем $x = - \frac{5\pi}{2}$ — не входит в отрезок.
Для второй серии решений $x = \pi + 2 \pi k$:
При $k = 0$ получаем $x = \pi$ — не входит в отрезок;
При $k = - 1$ получаем $x = - \pi$ — входит в отрезок;
При $k = - 2$ получаем $x = - 3 \pi$ — не входит в отрезок.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + 2 \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{3\pi}{2}; - \pi; - \frac{\pi}{2}$

Источник: ФИПИ