Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $2 \cos ^{3} x = \sqrt{3} \sin ^{2} x + 2 \cos x$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 3 \pi ; - \frac{5 \pi}{2} \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x$ .
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^{2} x$ на $1 - \cos^{2} x$ :
$2 \cos^{3} x = \sqrt{3}(1 - \cos^{2} x) + 2 \cos x$
$2 \cos^{3} x = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cos^{2} x + 2 \cos x$
Перенесем все слагаемые в левую часть для последующей группировки:
$2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0$
Выполним разложение на множители методом группировки:
$2 \cos x (\cos^{2} x - 1) + \sqrt{3} (\cos^{2} x - 1) = 0$
$(\cos^{2} x - 1)(2 \cos x + \sqrt{3}) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \cos^{2} x = 1$
Это дает нам две серии решений:
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi l, l \in \mathbb{Z}$
Эти две группы корней можно объединить в одну запись: $x = \pi p, p \in \mathbb{Z}$ .
2) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Отсюда получаем еще две серии точек на окружности:
$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[-3\pi; -2,5\pi]$ , используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_1 = -3\pi$
$x_2 = -2\pi - \frac{5\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6}$

Ответ: а) $2\pi k, \pi + 2\pi l, \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k, l, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-3\pi; -\frac{17\pi}{6}$

Источник: ФИПИ