Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^{2} x$ на $1 - \cos^{2} x$:
$2 \cos^{3} x = \sqrt{3}(1 - \cos^{2} x) + 2 \cos x$
$2 \cos^{3} x = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cos^{2} x + 2 \cos x$
Перенесем все слагаемые в левую часть для последующей группировки:
$2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0$
Выполним разложение на множители методом группировки:
$2 \cos x (\cos^{2} x - 1) + \sqrt{3} (\cos^{2} x - 1) = 0$
$(\cos^{2} x - 1)(2 \cos x + \sqrt{3}) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \cos^{2} x = 1$
Это дает нам две серии решений:
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi l, l \in \mathbb{Z}$
Эти две группы корней можно объединить в одну запись: $x = \pi p, p \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Отсюда получаем еще две серии точек на окружности:
$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[-3\pi; -2,5\pi]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_1 = -3\pi$
$x_2 = -2\pi - \frac{5\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6}$

Ответ: а) $2\pi k, \pi + 2\pi l, \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k, l, n \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi; -\frac{17\pi}{6}$

Источник: ФИПИ