Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение:
а) Для подтверждения возможности получения числа 29 приведем конкретную последовательность действий:
Здесь на каждом шаге вычитается утроенная сумма цифр текущего числа.
б) Проанализируем свойство делимости. Любое число вида , где — сумма цифр числа , кратно 3. Если мы прибавляем к числу или вычитаем из него величину, кратную 3, то остаток исходного числа от деления на 3 сохраняется. Следовательно, все числа в цепочке будут иметь тот же остаток при делении на 3, что и начальное число 128.
Разделим 128 на 3: , остаток равен 2. Любое число, полученное из него, также должно давать в остатке 2. Однако число 31 при делении на 3 дает остаток 1 (). Из-за несовпадения остатков получить 31 из 128 невозможно.
в) Попробуем найти минимально возможное натуральное число. Самое маленькое натуральное число — это 1. Но 1 имеет остаток 1 при делении на 3, а наше исходное число 128 имеет остаток 2. Как было доказано в пункте б), остаток измениться не может, поэтому 1 получить нельзя. Следующее по величине число — 2, оно имеет нужный остаток 2. Покажем, что прийти к двойке возможно (достаточно одного примера):
Или альтернативный вариант пути:
Ответ: а) да; б) нет; в) 2
Источник: ФИПИ