Числа и их свойства (теория чисел) · 29 заданий
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в ви…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Може…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Лёгкое
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65? б)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно о…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возм…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного)…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
- Задание №20№20Среднее
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?
Решение
Решение:
а) Для подтверждения возможности получения числа 29 приведем конкретную последовательность действий:
128−3395−4253−2429.
Здесь на каждом шаге вычитается утроенная сумма цифр текущего числа.
б) Проанализируем свойство делимости. Любое число вида 3⋅S(n), где S(n) — сумма цифр числа n, кратно 3. Если мы прибавляем к числу или вычитаем из него величину, кратную 3, то остаток исходного числа от деления на 3 сохраняется. Следовательно, все числа в цепочке будут иметь тот же остаток при делении на 3, что и начальное число 128.
Разделим 128 на 3: 128=3⋅42+2, остаток равен 2. Любое число, полученное из него, также должно давать в остатке 2. Однако число 31 при делении на 3 дает остаток 1 (31=3⋅10+1). Из-за несовпадения остатков получить 31 из 128 невозможно.
в) Попробуем найти минимально возможное натуральное число. Самое маленькое натуральное число — это 1. Но 1 имеет остаток 1 при делении на 3, а наше исходное число 128 имеет остаток 2. Как было доказано в пункте б), остаток измениться не может, поэтому 1 получить нельзя. Следующее по величине число — 2, оно имеет нужный остаток 2. Покажем, что прийти к двойке возможно (достаточно одного примера):
128−3395−4253+2477−4235+2459−4217+2441−1526−242.
Или альтернативный вариант пути:
128−3395−4253−2429+3362−2438−335+1520+626−242.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2
Источник: ФИПИ