Решение:
а) Рассмотрим четырехугольник $AC_{1}HB_{1}.$ Так как углы $\angle AC_{1}H$ и $\angle AB_{1}H$ прямые, точки $A, C_{1}, H, B_{1}$ принадлежат одной окружности, диаметром которой является отрезок $AH.$ В этой окружности углы $\angle C_{1}AH$ и $\angle C_{1}B_{1}H$ опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Отсюда вытекает равенство углов $\angle BAH$ и $\angle BB_{1}C_{1},$ что и требовалось доказать.
б) Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ а точка $D$ является серединой стороны $BC.$ Нам необходимо найти длину перпендикуляра $OD.$ Из прямоугольных треугольников $ABB_{1}$ и $ACC_{1}$ выразим катеты, прилежащие к углу $A = 30^{\circ}$:
$AB_{1} = AB \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} AB,$
$AC_{1} = AC \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} AC.$
Таким образом, стороны треугольника $AB_{1}C_{1}$ пропорциональны соответствующим сторонам треугольника $ABC,$ а угол $A$ у них общий. Значит, $\triangle AB_{1}C_{1} \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$ Используя это отношение, находим сторону $BC$:
$BC = \frac{B_{1}C_{1}}{k} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}.$
Тогда половина этой стороны $BD = \frac{1}{2} BC = 6\sqrt{3}.$
Центральный угол $BOC$ в два раза больше вписанного угла $BAC,$ то есть $\angle BOC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}.$ В равнобедренном треугольнике $BOC$ отрезок $OD$ является медианой и высотой, значит, $\angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = 30^{\circ}.$ Тогда в прямоугольном треугольнике $BDO$ угол $\angle OBD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}.$ Вычислим $OD$:
$OD = BD \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18.$

Критерии оценивания:
— 3 балла: Приведено полностью верное доказательство пункта а) и получен правильный ответ в пункте б).
— 2 балла: Верно решен пункт б), ИЛИ доказан пункт а), но в пункте б) допущена вычислительная ошибка при верном ходе решения.
— 1 балл: Доказан только пункт а), ИЛИ пункт б) решен с арифметической ошибкой, ИЛИ пункт б) решен верно с опорой на свойство из пункта а), которое само не было доказано.
— 0 баллов: Решение не удовлетворяет ни одному из перечисленных условий.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ