Задание №13 — Оптимизация

Решение:
Предположим, что на первом предприятии затрачивается $x^{2}$ человеко-часов, что позволяет выпустить $x$ единиц продукции. Аналогично, на втором предприятии используется $y^{2}$ человеко-часов для производства $y$ единиц продукции. Суммарный объем произведенного товара обозначим через $S$:
$S = x + y.$
Согласно условию, общие затраты на оплату труда на обоих объектах составляют 1 200 000 рублей в неделю. Исходя из стоимости часа работы (200 и 300 рублей соответственно), составим уравнение:
$200 x^{2} + 300 y^{2} = 1200000.$
Выразим переменную $y$ через общий объем $S$ и $x$:
$y = S - x.$
Подставим полученное выражение в уравнение бюджетного ограничения:
$200 x^{2} + 300 (S - x)^{2} = 1200000$
Разделим обе части на 100 для упрощения расчетов:
$2 x^{2} + 3 (S - x)^{2} = 12000$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 x^{2} + 3 (S^{2} - 2Sx + x^{2}) = 12000$
$2 x^{2} + 3S^{2} - 6Sx + 3x^{2} - 12000 = 0$
$5 x^{2} - 6Sx + 3S^{2} - 12000 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы существовали реальные значения $x$, при которых возможен такой объем производства, дискриминант данного уравнения должен быть неотрицательным:
$D = (-6S)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3S^{2} - 12000) = 36S^{2} - 60S^{2} + 240000 = -24S^{2} + 240000.$
Решим неравенство $D \geq 0$:
$-24S^{2} + 240000 \geq 0$
$24S^{2} \leq 240000$
$S^{2} \leq 10000.$
Для нахождения границ воспользуемся методом интервалов:
$S^{2} = 10000 \Rightarrow S_{1} = -100, S_{2} = 100.$

Учитывая, что объем производства $S$ не может быть отрицательным, получаем интервал $0 \leq S \leq 100$.
Следовательно, максимально возможное значение $S$ равно $100$.
Проверим, при каких $x$ и $y$ достигается этот максимум:
$5x^{2} - (6 \cdot 100)x + (3 \cdot 100^{2} - 12000) = 0$
$5x^{2} - 600x + 18000 = 0$
Сократим на 5:
$x^{2} - 120x + 3600 = 0$
Заметим формулу квадрата разности:
$(x - 60)^{2} = 0 \Rightarrow x = 60.$
Тогда объем производства на втором заводе составит:
$y = 100 - 60 = 40.$
Так как найденные значения $x$ и $y$ являются допустимыми, максимальный суммарный объем товара равен 100 единицам.

Ответ: 100

Источник: ФИПИ