Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:
$\begin{cases} 2x^2 + 1 > 0 \\ \frac{1}{32x} + 1 > 0 \\ \frac{x}{16} + 1 > 0 \\ 32x \neq 0 \end{cases}$
Решим полученную систему условий:
$\begin{cases} x^2 > -\frac{1}{2} \text{ (верно при любых } x) \\ \frac{1 + 32x}{32x} > 0 \\ x > -16 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-16; -1/32) \cup (0; +\infty)$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов и преобразуем левую часть неравенства:
$\log_{11} \left( (2x^2 + 1) \left( \frac{1}{32x} + 1 \right) \right) \geq \log_{11} \left( \frac{x}{16} + 1 \right)$
Так как основание логарифма $11 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$(2x^2 + 1) \left( \frac{1}{32x} + 1 \right) \geq \frac{x}{16} + 1$
Раскроем скобки в левой части:
$\frac{2x^2}{32x} + 2x^2 + \frac{1}{32x} + 1 \geq \frac{x}{16} + 1$
Упростим выражение, перенеся все слагаемые в левую сторону:
$\frac{x}{16} + 2x^2 + \frac{1}{32x} + 1 - \frac{x}{16} - 1 \geq 0$
После сокращения подобных слагаемых получаем:
$2x^2 + \frac{1}{32x} \geq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{64x^3 + 1}{32x} \geq 0$
Применим метод интервалов. Найдём нули числителя и точки разрыва (знаменателя):
1) $32x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
2) $64x^3 + 1 = 0 \Rightarrow 64x^3 = -1 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{64}$.
Отсюда $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{64}} = -\frac{1}{4}$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения:

Решением данного рационального неравенства является множество: $x \in (-\infty; -1/4] \cup (0; +\infty)$.
Теперь пересечём полученное решение с найденной ранее областью допустимых значений:

Итоговый промежуток: $x \in (-16; -1/4] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $(-16; -1/4] \cup (0; +\infty)$

Источник: ФИПИ