Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество для замены синуса на косинус: $2 \cos^{2} x - 2 \cos^{3} x + (1 - \cos^{2} x) = 0$.
Разложим левую часть на множители методом группировки: $2 \cos^{2} x (1 - \cos x) + (1 - \cos x)(1 + \cos x) = 0$.
Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки: $(1 - \cos x)(2 \cos^{2} x + \cos x + 1) = 0$.
Уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 1$, откуда получаем серию корней $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos^{2} x + \cos x + 1 = 0$. Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $\cos x$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7$. Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, решением пункта а) является $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$, используя двойное неравенство:
$$-\frac{7\pi}{2} \leq 2\pi k \leq -2\pi, k \in \mathbb{Z}$$
Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$-\frac{7}{4} \leq k \leq -1$.
Поскольку $k$ — целое число, из промежутка $[-1,75; -1]$ нам подходит только значение $k = -1$.
Вычислим соответствующий корень: $x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$.

Ответ: а) $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$.

Источник: ФИПИ