Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $2 \cos ^{2} x + \sin ^{2} x = 2 \cos ^{3} x .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - \frac{7 \pi}{2} ; - 2 \pi \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество для замены синуса на косинус: $2 \cos^{2} x - 2 \cos^{3} x + (1 - \cos^{2} x) = 0$ .
Разложим левую часть на множители методом группировки: $2 \cos^{2} x (1 - \cos x) + (1 - \cos x)(1 + \cos x) = 0$ .
Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки: $(1 - \cos x)(2 \cos^{2} x + \cos x + 1) = 0$ .
Уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 1$ , откуда получаем серию корней $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $2 \cos^{2} x + \cos x + 1 = 0$ . Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $\cos x$ . Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7$ . Так как $D < 0$ , данное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, решением пункта а) является $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ , используя двойное неравенство:
$-\frac{7\pi}{2} \leq 2\pi k \leq -2\pi, k \in \mathbb{Z}$
Разделим все части неравенства на $2\pi$ :
$-\frac{7}{4} \leq k \leq -1$ .
Поскольку $k$ — целое число, из промежутка $[-1,75; -1]$ нам подходит только значение $k = -1$ .
Вычислим соответствующий корень: $x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$ .

Ответ: а) $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-2\pi$ .

Источник: ФИПИ