Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решите неравенство: $\log _{3} \left(\left(2 - x\right) \left(x^{2} + 5\right)\right) \geq \log _{3} \left(x^{2} - 5 x + 6\right) + \log _{3} ( 4 - x ) .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ :
$\begin{cases} (2 - x)(x^2 + 5) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$ Заметим, что выражение $x^2 + 5$ всегда принимает положительные значения. Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ (x - 2)(x - 3) > 0 \\ x < 4 \end{cases}$

Система условий принимает вид:
$\begin{cases} x < 2 \\ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\ x < 4 \end{cases}$ Пересечение этих интервалов даёт ОДЗ: $x \in (-\infty; 2)$ .
Перейдём к решению самого неравенства:
$\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)) + \log_{3} (4 - x)$
Используя свойство суммы логарифмов $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$ , преобразуем правую часть:
$\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)(4 - x))$
Так как основание логарифма $3 > 1$ , логарифмическая функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$
Выразим левую часть через множитель $(x - 2)$ :
$-(x - 2)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на $-1$ , не забыв сменить знак неравенства:
$(x - 2)(x^2 + 5) + (x - 2)(x - 3)(4 - x) \leq 0$
Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2) \left( (x^2 + 5) + (x - 3)(4 - x) \right) \leq 0$
Раскроем скобки внутри выражения:
$(x - 2) (x^2 + 5 + 4x - x^2 - 12 + 3x) \leq 0$
Приведём подобные слагаемые:
$(x - 2)(7x - 7) \leq 0$
Разделим на 7:
$(x - 2)(x - 1) \leq 0$

Решением данного неравенства является отрезок $x \in [1; 2]$ .
Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ. Поскольку значение $x = 2$ не входит в область допустимых значений, итоговым решением будет:
$x \in [1; 2)$ .

Критерии оценивания:
— Полное и обоснованное решение с верным ответом — 2 балла
— Допущена единственная вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек — 1 балл
— Решение не соответствует указанным требованиям — 0 баллов

Ответ: $[1; 2)$

Источник: ФИПИ