Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:
$$\begin{cases} (2 - x)(x^2 + 5) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$$ Заметим, что выражение $x^2 + 5$ всегда принимает положительные значения. Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
$$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ (x - 2)(x - 3) > 0 \\ x < 4 \end{cases}$$

Система условий принимает вид:
$$\begin{cases} x < 2 \\ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\ x < 4 \end{cases}$$ Пересечение этих интервалов даёт ОДЗ: $x \in (-\infty; 2)$.
Перейдём к решению самого неравенства:
$\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)) + \log_{3} (4 - x)$
Используя свойство суммы логарифмов $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$, преобразуем правую часть:
$\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)(4 - x))$
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$
Выразим левую часть через множитель $(x - 2)$:
$-(x - 2)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на $-1$, не забыв сменить знак неравенства:
$(x - 2)(x^2 + 5) + (x - 2)(x - 3)(4 - x) \leq 0$
Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2) \left( (x^2 + 5) + (x - 3)(4 - x) \right) \leq 0$
Раскроем скобки внутри выражения:
$(x - 2) (x^2 + 5 + 4x - x^2 - 12 + 3x) \leq 0$
Приведём подобные слагаемые:
$(x - 2)(7x - 7) \leq 0$
Разделим на 7:
$(x - 2)(x - 1) \leq 0$

Решением данного неравенства является отрезок $x \in [1; 2]$.
Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ. Поскольку значение $x = 2$ не входит в область допустимых значений, итоговым решением будет:
$x \in [1; 2)$.

Критерии оценивания:
— Полное и обоснованное решение с верным ответом — 2 балла
— Допущена единственная вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек — 1 балл
— Решение не соответствует указанным требованиям — 0 баллов

Ответ: $[1; 2)$

Источник: ФИПИ