Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решите неравенство: $\log _{5} \left(\left(3 - x\right) \left(x^{2} + 2\right)\right) \geq \log _{5} \left(x^{2} - 7 x + 12\right) + \log _{5} ( 5 - x ) .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ :
$\left\{\begin{matrix} ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) > 0 \\ x^{2} - 7 x + 12 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{matrix}\right.$
Заметим, что выражение $x^{2} + 2$ принимает только положительные значения при любых $x$ . Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
$\left\{\begin{matrix} 3 - x > 0 \\ ( x - 3 ) ( x - 4 ) > 0 \\ x < 5 \end{matrix}\right.$

Решая систему, получаем условия:
$\left\{\begin{matrix} x < 3 \\ x < 3 \text{ или } x > 4 \\ x < 5 \end{matrix}\right.$
Таким образом, ОДЗ: $x \in ( - \infty ; 3 )$ .
Преобразуем исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $\log _{a} b + \log _{a} c = \log _{a} (bc)$ :
$\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ) + \log _{5} ( 5 - x )$
$\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) )$
Так как логарифмическая функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, переходим к сравнению аргументов:
$( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )$
Вынесем минус за скобки в левой части, чтобы выделить общий множитель $(x-3)$ :
$- ( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )$
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на $-1$ , не забыв сменить знак неравенства:
$( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) + ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) \leq 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$( x - 3 ) ( ( x^{2} + 2 ) + ( x - 4 ) ( 5 - x ) ) \leq 0$
Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые:
$( x - 3 ) ( x^{2} + 2 + 5x - x^2 - 20 + 4x ) \leq 0$
$( x - 3 ) ( 9 x - 18 ) \leq 0$
Разделим на 9 и получим:
$( x - 3 ) ( x - 2 ) \leq 0$

Решением данного неравенства является отрезок $x \in [ 2 ; 3 ]$ .
Сопоставим полученный результат с ОДЗ (в которой $x < 3$ ):
$x \in [ 2 ; 3 ) .$

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный ответ.
1 балл — ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек, ИЛИ допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения верна.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $[ 2 ; 3 )$

Источник: ФИПИ