Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:
$$\left\{\begin{matrix} ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) > 0 \\ x^{2} - 7 x + 12 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{matrix}\right.$$
Заметим, что выражение $x^{2} + 2$ принимает только положительные значения при любых $x$. Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
$$\left\{\begin{matrix} 3 - x > 0 \\ ( x - 3 ) ( x - 4 ) > 0 \\ x < 5 \end{matrix}\right.$$

Решая систему, получаем условия:
$$\left\{\begin{matrix} x < 3 \\ x < 3 \text{ или } x > 4 \\ x < 5 \end{matrix}\right.$$
Таким образом, ОДЗ: $x \in ( - \infty ; 3 )$.
Преобразуем исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $\log _{a} b + \log _{a} c = \log _{a} (bc)$:
$$\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ) + \log _{5} ( 5 - x )$$
$$\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) )$$
Так как логарифмическая функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, переходим к сравнению аргументов:
$$( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )$$
Вынесем минус за скобки в левой части, чтобы выделить общий множитель $(x-3)$:
$$- ( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )$$
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на $-1$, не забыв сменить знак неравенства:
$$( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) + ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) \leq 0$$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$$( x - 3 ) ( ( x^{2} + 2 ) + ( x - 4 ) ( 5 - x ) ) \leq 0$$
Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые:
$$( x - 3 ) ( x^{2} + 2 + 5x - x^2 - 20 + 4x ) \leq 0$$
$$( x - 3 ) ( 9 x - 18 ) \leq 0$$
Разделим на 9 и получим:
$$( x - 3 ) ( x - 2 ) \leq 0$$

Решением данного неравенства является отрезок $x \in [ 2 ; 3 ]$.
Сопоставим полученный результат с ОДЗ (в которой $x < 3$):
$x \in [ 2 ; 3 ) .$

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный ответ.
1 балл — ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек, ИЛИ допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения верна.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $[ 2 ; 3 )$

Источник: ФИПИ