Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $2 \cos ^{3} x + \sqrt{3} \cos ^{2} x + 2 \cos x + \sqrt{3} = 0$.
Для удобства введем новую переменную, пусть $\cos x = t$. Тогда уравнение примет вид:
$2 t^{3} + \sqrt{3} t^{2} + 2 t + \sqrt{3} = 0$.
Выполним группировку слагаемых:
$t^2(2t + \sqrt{3}) + (2t + \sqrt{3}) = 0$
$(2t + \sqrt{3})(t^2 + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $t^2 + 1 = 0 \Rightarrow t^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней.
2) $2t + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2t = -\sqrt{3} \Rightarrow t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вернемся к переменной $x$:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
$x = -\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Произведем отбор корней на заданном промежутке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности:

Найдем значения, попавшие в указанную дугу:
$x_1 = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$;
$x_2 = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Правильно решен только пункт а), ЛИБО допущена одна арифметическая ошибка, не изменившая логику решения, при которой шаги пунктов а) и б) остаются верными.
— 0 баллов: Решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ:
а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$.

Источник: ФИПИ