Задание №18 — Уравнения с параметром

Разбор задачи:
Необходимо найти значения параметра $a$, при которых уравнение $\frac{x^{2} - 2 x + a^{2} - 4 a}{x^{2} - a} = 0$ имеет ровно два различных корня.

Перейдем к равносильной системе, учитывая область допустимых значений (знаменатель не равен нулю):
$$\begin{cases} x^{2} - 2 x + a^{2} - 4 a = 0 \\ a \neq x^{2} \end{cases}$$ Преобразуем уравнение числителя, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $a$:
$x^{2} - 2 x + 1 + a^{2} - 4 a + 4 = 1 + 4$
$(x - 1)^{2} + (a - 2)^{2} = 5$

Проанализируем полученные условия в системе координат $(x; a)$:
1) Условие $a \neq x^{2}$ означает, что искомые точки не должны лежать на параболе с вершиной в начале координат $(0; 0)$.
2) Уравнение $(x - 1)^{2} + (a - 2)^{2} = 5$ задает окружность с центром в точке $C(1; 2)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.

Для определения «выколотых» точек найдем пересечения окружности и параболы, подставив $a = x^{2}$ в уравнение числителя:
$x^{2} - 2 x + (x^{2})^{2} - 4x^{2} = 0$
$x^{4} - 3x^{2} - 2x = 0$
Вынесем общий множитель и разложим выражение на множители:
$x(x^{3} - 3x - 2) = 0$
$x(x^{3} - x - 2x - 2) = 0$
$x(x(x-1)(x+1) - 2(x+1)) = 0$
$x(x+1)(x^{2} - x - 2) = 0$
Корни данного уравнения:
$x_1 = 0 \Rightarrow a_1 = 0^{2} = 0$;
$x_2 = -1 \Rightarrow a_2 = (-1)^{2} = 1$;
Для квадратного трехчлена $x^{2} - x - 2 = 0$ получаем корни $x = 2$ и $x = -1$ (повтор).
При $x_3 = 2 \Rightarrow a_3 = 2^{2} = 4$.

Уравнение имеет два корня в тех случаях, когда горизонтальная прямая $a = \text{const}$ пересекает окружность в двух точках, не являющихся точками пересечения с параболой.
Окружность расположена в полосе по $a$ от $2 - \sqrt{5}$ до $2 + \sqrt{5}$. Исключаем значения $a$, соответствующие точкам пересечения с параболой ($0, 1, 4$), а также крайние точки (где только одно решение).
Искомые интервалы для $a$:
$( 2 - \sqrt{5} ; 0 ) \cup ( 0 ; 1 ) \cup ( 1 ; 4 ) \cup ( 4 ; 2 + \sqrt{5} )$

Ответ: $( 2 - \sqrt{5} ; 0 ) \cup ( 0 ; 1 ) \cup ( 1 ; 4 ) \cup ( 4 ; 2 + \sqrt{5} )$

Источник: ФИПИ