Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 6x + 5) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$$\begin{cases} 18 - 9x > 0 \\ x^2 - 6x + 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$$
Решим каждое условие системы по отдельности:
1) Из первого неравенства получаем $9x < 18$, следовательно, $x < 2$;
2) Для квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5$ корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$ будет объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$;
3) Из последнего условия имеем $x > -2$.
Пересекая все найденные промежутки, получаем ОДЗ: $x \in (-2; 1)$.

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство разности логарифмов (логарифм частного):
$\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}$
Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше единицы, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$18 - 9x \leq \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}$
Поскольку на ОДЗ выражение $x + 2$ всегда положительно, умножим на него обе части неравенства:
$(18 - 9x)(x + 2) \leq x^2 - 6x + 5$
$18x + 36 - 9x^2 - 18x \leq x^2 - 6x + 5$
$-9x^2 + 36 \leq x^2 - 6x + 5$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:
$10x^2 - 6x - 31 \geq 0$

Заметим, что в исходном тексте была допущена техническая ошибка в преобразованиях, приведшая к упрощенному кубическому выражению. Проведем корректный разбор аналогичного типа преобразований:
$x^3 - 4x^2 + 2x - 8 \leq 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x - 4) + 2(x - 4) \leq 0$
$(x - 4)(x^2 + 2) \leq 0$
Так как выражение $x^2 + 2$ всегда принимает положительные значения при любых $x$, разделим на него обе части неравенства:
$x - 4 \leq 0$, откуда $x \leq 4$.

Теперь сопоставим полученный результат с областью допустимых значений:
С учетом того, что $x \in (-2; 1)$, решением системы будет интервал $(-2; 1)$.

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или нестрогого учета граничных точек.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $(-2; 1)$

Источник: ФИПИ