Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\cos 2 x + \sqrt{2} \cos ( \frac{\pi}{2} + x ) + 1 = 0 .$
б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку $[ 2 \pi ; 3{,}5 \pi \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Исходное уравнение: $\cos 2x + \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$ .
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x$ :
$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$ .
Приведем подобные слагаемые и умножим всё уравнение на $-1$ :
$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$ .
Решим полученное квадратное уравнение относительно $\sin x$ . Находим дискриминант:
$D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 = (3\sqrt{2})^2$ .
Вычислим корни для синуса:
1) $\sin x = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
2) $\sin x = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$ .
Заметим, что второе уравнение $\sin x = -\sqrt{2}$ не имеет решений, так как $-\sqrt{2} < -1$ , а область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$ .

Для первого случая получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ;
$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке с помощью тригонометрической окружности:

В указанный интервал попадают следующие значения:
1) $2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ ;
2) $3\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$ .

Источник: ФИПИ