Решение:
а) Исходное уравнение: $\cos 2x + \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x$:
$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$.
Приведем подобные слагаемые и умножим всё уравнение на $-1$:
$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение относительно $\sin x$. Находим дискриминант:
$D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 = (3\sqrt{2})^2$.
Вычислим корни для синуса:
1) $\sin x = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2) $\sin x = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$.
Заметим, что второе уравнение $\sin x = -\sqrt{2}$ не имеет решений, так как $-\sqrt{2} < -1$, а область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$.

Для первого случая получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;
$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке с помощью тригонометрической окружности:

В указанный интервал попадают следующие значения:
1) $2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$;
2) $3\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ