Задание №19 — Уравнения с параметром

Разбор задачи:
Исходное уравнение $\frac{\left|4 x\right| - x - 3 - a}{x^{2} - x - a} = 0$ равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от него:
$$\begin{cases} a = |4x| - x - 3 \\ a \neq x^2 - x \end{cases}$$ Для решения воспользуемся графическим методом в координатной плоскости $(x; a)$.
1) Построим «выколотую» линию, заданную уравнением $a = x^2 - x$. Это парабола с вершиной в точке: $x_{0} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$; $a_{0} = (0,5)^2 - 0,5 = -0,25$.

2) Построим график функции $a = |4x| - x - 3$, раскрыв модуль по определению:
Если $x \geq 0$, то $a = 4x - x - 3 = 3x - 3$.
Если $x < 0$, то $a = -4x - x - 3 = -5x - 3$.

Найдем точки пересечения графиков числителя и знаменателя, чтобы исключить их из решения (в этих точках дробь не определена):
1) Пересечение с правой ветвью ($x \geq 0$):
$\begin{cases} a = x^2 - x \\ a = 3x - 3 \end{cases} \Rightarrow x^2 - x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни: $x_1 = 3$ (тогда $a = 6$) и $x_2 = 1$ (тогда $a = 0$).

2) Пересечение с левой ветвью ($x < 0$):
$\begin{cases} a = x^2 - x \\ a = -5x - 3 \end{cases} \Rightarrow x^2 - x = -5x - 3 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0$
Корни: $x_3 = -3$ (тогда $a = 12$) и $x_4 = -1$ (тогда $a = 2$).

Уравнение имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая $a = \text{const}$ пересекает график $a = |4x| - x - 3$ в двух точках, не совпадающих с точками пересечения с параболой.
График «галочки» имеет минимум в точке $(0; -3)$. При $a > -3$ прямая всегда пересекает график в двух точках. Исключаем значения $a$, при которых одна из точек становится «выколотой»: $0, 2, 6, 12$.

Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$

Источник: ФИПИ