Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\log _{4} ( 6 - 6 x ) \geq \log _{4} ( x^{2} - 5 x + 4 ) - \log _{4} ( x + 3 )$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\left\{\begin{matrix} 6 - 6 x > 0 \\ x^{2} - 5 x + 4 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}\right.$
Разберем каждое условие системы:
1) Из первого неравенства получаем $6x < 6$, то есть $x < 1$;
2) Для квадратного трехчлена $x^{2} - 5 x + 4$ корнями являются $x_{1} = 4$ и $x_{2} = 1$. Следовательно, выражение положительно при $x \in ( - \infty ; 1 ) \cup ( 4 ; + \infty )$;
3) Из последнего условия имеем $x > - 3$.
Пересекая все интервалы, находим ОДЗ: $x \in (- 3 ; 1)$.
Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство разности логарифмов:
$\log _{4} ( 6 - 6 x ) \geq \log _{4} \frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3}$.
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$6 - 6 x \geq \frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3}$.
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки, учитывая, что $6 - 6x = -6(x - 1)$:
$\frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3} + 6 ( x - 1 ) \leq 0$;
$( x - 1 ) \left(\frac{x - 4}{x + 3} + 6\right) \leq 0$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$( x - 1 ) \left(\frac{x - 4 + 6(x + 3)}{x + 3}\right) \leq 0$;
$\frac{( x - 1 ) ( 7 x + 14 )}{x + 3} \leq 0$.
Определим критические точки:
Числитель обращается в нуль при $x = 1$ и $x = - 2$.
Знаменатель обращается в нуль при $x = - 3$ (точка разрыва).
Воспользуемся методом интервалов:

Решением данного рационального неравенства является множество $x \in ( - \infty ; - 3 ) \cup [ - 2 ; 1 ]$.
Сопоставим полученный результат с найденной ранее областью допустимых значений $x \in (- 3 ; 1)$.
Итоговый промежуток: $[ - 2 ; 1 )$.

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но ответ отличается от правильного из-за включения/исключения граничных точек или допущена одна вычислительная ошибка при сохранении логики решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $[ - 2 ; 1 )$

Источник: ФИПИ