Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим уравнение $\cos 2 x + \sin ^{2} x = 0{,}75$.
Применим формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Тогда уравнение примет вид:
$1 - 2 \sin ^{2} x + \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$
Упростим выражение в левой части:
$1 - \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$
Вспомним основное тригонометрическое тождество, согласно которому $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$:
$\cos ^{2} x = \frac{3}{4}$
Отсюда получаем два возможных значения для косинуса:
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Объединяя эти решения, находим: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $[ \pi ; 2{,}5 \pi ]$:

На указанном отрезке лежат следующие точки:
1) $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$
2) $x_2 = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
3) $x_3 = 2 \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13 \pi}{6}$

Критерии оценивания:
Выполнены верно оба пункта — 2 балла.
Верно решён только пункт а), ЛИБО допущена одна арифметическая ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена — 1 балл.
В остальных случаях — 0 баллов.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n , n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7 \pi}{6} ; \frac{11 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ