Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\cos 2 x + \sin ^{2} x = \frac{3}{4} .$
б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку $[ \pi ; 2{,}5 \pi \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим уравнение $\cos 2 x + \sin ^{2} x = 0{,}75$ .
Применим формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ .
Тогда уравнение примет вид:
$1 - 2 \sin ^{2} x + \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$
Упростим выражение в левой части:
$1 - \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$
Вспомним основное тригонометрическое тождество, согласно которому $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ :
$\cos ^{2} x = \frac{3}{4}$
Отсюда получаем два возможных значения для косинуса:
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Объединяя эти решения, находим: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) С помощью единичной окружности выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $[ \pi ; 2{,}5 \pi ]$ :

На указанном отрезке лежат следующие точки:
1) $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$
2) $x_2 = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
3) $x_3 = 2 \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13 \pi}{6}$

Критерии оценивания:
Выполнены верно оба пункта — 2 балла.
Верно решён только пункт а), ЛИБО допущена одна арифметическая ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена — 1 балл.
В остальных случаях — 0 баллов.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n , n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7 \pi}{6} ; \frac{11 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ