Задание №18 — Исследование функций, зависящих от параметра

Решение:
Начнём с анализа области допустимых значений (ОДЗ):
$x^{2} + ах + 3 \geq 0 .$
Заметим, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат подкоренное выражение слева автоматически приравнивается к квадрату правой части, что гарантирует его неотрицательность. Однако для того, чтобы найденные корни $x$ действительно являлись решениями, необходимо, чтобы при этих значениях правая часть исходного уравнения была определена и неотрицательна.
Если мы найдём три различных корня, выраженных через параметр $a$, нам потребуется проверить их на соответствие условию $x^2 + ax + 3 \ge 0$.
Для упрощения вычислений преобразуем выражение под корнем в левой части, выделив структуру, близкую к правой части уравнения:
$$\sqrt{15 x^{2} + 6 ах + 9} = \sqrt{6(x^2 + ax + 3) + 9x^2 - 9} = \sqrt{6(x^2 + ax + 3) + 9(x^2 - 1)}.$$
Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:
$$6(x^2 + ax + 3) + 9(x^2 - 1) = (x^2 + ax + 3)^2.$$
Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем слагаемые:
$$(x^2 + ax + 3)^2 - 6(x^2 + ax + 3) - 9(x^2 - 1) = 0.$$
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов для первых двух слагаемых в ином виде или просто упростив выражение:
$$((x^2 + ax) + 3)^2 - 6(x^2 + ax + 3) - 9x^2 + 9 = 0,$$
$$(x^2 + ax)^2 + 6(x^2 + ax) + 9 - 6(x^2 + ax) - 18 - 9x^2 + 9 = 0,$$
$$(x^2 + ax)^2 - 9x^2 = 0.$$
Разложим полученную разность квадратов на множители:
$$(x^2 + ax - 3x)(x^2 + ax + 3x) = 0,$$
$$x(x + a - 3) \cdot x(x + a + 3) = 0,$$
что равносильно совокупности уравнений:
$$\left[\begin{matrix} x^2 = (-a + 3)x, \\ x^2 = (-a - 3)x. \end{matrix}\right.$$
Геометрически это означает пересечение параболы $y = x^2$ с двумя прямыми, проходящими через начало координат. Заметим, что угловой коэффициент первой прямой всегда больше коэффициента второй, так как $-a + 3 > -a - 3$ при любом значении $a$.
Возможны три принципиальных случая расположения этих прямых:

1) Обе прямые имеют отрицательный наклон:
$-a + 3 < 0 \Leftrightarrow a > 3.$
2) Обе прямые имеют положительный наклон:
$-a - 3 > 0 \Leftrightarrow a < -3.$
3) Прямые имеют знаки коэффициентов разных знаков:
$\begin{cases} -a + 3 > 0, \\ -a - 3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3 < a < 3.$
Таким образом, три различных корня (один из которых $x_1 = 0$) существуют при $a \neq \pm 3$.
Для $x_1 = 0$ условие $0^2 + a \cdot 0 + 3 \geq 0$ выполняется всегда. Проверим остальные корни $x_2 = 3 - a$ и $x_3 = -3 - a$, подставив их в условие $x^2 + ax + 3 \geq 0$:
Для $x_2$:
$(3 - a)^2 + a(3 - a) + 3 = 9 - 6a + a^2 + 3a - a^2 + 3 = 12 - 3a.$
$12 - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 4.$
Для $x_3$:
$(-3 - a)^2 + a(-3 - a) + 3 = 9 + 6a + a^2 - 3a - a^2 + 3 = 12 + 3a.$
$12 + 3a \geq 0 \Rightarrow a \geq -4.$
Объединяя все полученные ограничения, имеем:
$\begin{cases} -4 \leq a \leq 4, \\ a \neq 3, \\ a \neq -3. \end{cases}$
Запишем итоговый интервал: $a \in [-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 4].$

Ответ: $[-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 4].$

Источник: ФИПИ