Задание №14 — Смешанные прототипы

Решение:
а) Сначала определим область допустимых значений для данного уравнения:

$2 \sin x > 0$, что выполняется при $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, решениями могут быть только углы из первой и второй четвертей.
Введем новую переменную $t = \log_{2}(2 \sin x)$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного:

$$2t^2 - 7t + 3 = 0$$ Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Находим корни для $t$:
$t_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$;
$t_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$.

Выполним обратную замену, перейдя к совокупности уравнений:

$\left[\begin{matrix} \log_{2}(2 \sin x) = 3 \\ \log_{2}(2 \sin x) = \frac{1}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 2 \sin x = 2^3 \\ 2 \sin x = 2^{1/2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x = 4 \\ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$

Первое уравнение $\sin x = 4$ не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$.
Для второго уравнения получаем: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, что можно записать в виде общей формулы: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Произведем отбор корней на заданном промежутке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.
Учитывая ОДЗ и границы отрезка, единственным подходящим значением является $x = \frac{3\pi}{4}$.

Критерии оценивания:
2 балла — за полностью верное и обоснованное решение обоих пунктов.
1 балл — за правильное решение только пункта а), либо за наличие арифметической ошибки при верном алгоритме решения обоих пунктов.
0 баллов — во всех остальных случаях.

Ответ: а) $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ