Задание №18 — Исследование функций, зависящих от параметра

Разбор задачи:
Исходное уравнение $\sqrt{5 x - 3} \cdot \ln \left(x^{2} - 6 x + 10 - a^{2}\right) = 0$ равносильно совокупности условий, учитывающих область определения выражения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что второй при этом имеет смысл. Это приводит нас к следующей системе: $$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} 5x - 3 = 0 \\ x^2 - 6x + 10 - a^2 = 1 \end{matrix}\right. \\ 5x - 3 \geq 0 \\ x^2 - 6x + 10 - a^2 > 0 \end{matrix}\right.$$ Преобразуем эти условия для удобства построения графика в осях $(x; a)$: $$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x = 0{,}6 \\ a^2 = (x-3)^2 \end{matrix}\right. \\ x \geq 0{,}6 \\ a^2 < (x-3)^2 + 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x = 0{,}6 \\ a = \pm(x-3) \end{matrix}\right. \\ x \geq 0{,}6 \\ -\sqrt{(x-3)^2 + 1} < a < \sqrt{(x-3)^2 + 1} \end{matrix}\right.$$

Анализируя полученное графическое представление системы, мы ищем интервалы значений параметра $a$, при которых горизонтальная прямая пересекает линии решений внутри допустимой области. Искомые условия соответствуют промежуткам: $$D < a \leq C \quad \text{и} \quad B \leq a < A$$ Значения ординат ключевых точек определяются следующим образом:
— Точки $A$ и $D$ вычисляются подстановкой граничного значения $x = 0{,}6$ в уравнения границ области определения $a = \sqrt{(x-3)^2 + 1}$ и $a = -\sqrt{(x-3)^2 + 1}$.
— Точки $B$ и $C$ находятся путем подстановки $x = 0{,}6$ в уравнения прямых $a = 3 - x$ и $a = x - 3$.

Выполнив вычисления:
$x = \frac{3}{5} \Rightarrow (x-3)^2 + 1 = (-\frac{12}{5})^2 + 1 = \frac{144}{25} + \frac{25}{25} = \frac{169}{25}$.
Тогда $A = \frac{13}{5}$, $D = -\frac{13}{5}$.
Для прямых: $C = \frac{3}{5} - 3 = -\frac{12}{5}$, $B = 3 - \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$.

Критерии оценивания:
4 балла — обоснованно получен верный ответ.
3 балла — ход решения верен, но допущена арифметическая ошибка или недостаточно пояснений.
2 балла — логика решения верна, но совершена одна невычислительная ошибка.
1 балл — найдены лишь некоторые части верного интервала параметра.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $\left( -\frac{13}{5}; -\frac{12}{5} \right] \cup \left[ \frac{12}{5}; \frac{13}{5} \right) .$

Источник: ФИПИ