Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Для упрощения выражения введем новую переменную $t = 2^{x}$, при этом учитываем условие $t > 0$. Перепишем заданное неравенство через $t$:

$$\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 8} + \frac{66}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0$$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t - 8)(t - 4)$:

$$\frac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 4) + 66}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$$\frac{t^{2} - 4t + t^{2} + 4t - 32 + 66}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2t^{2} - 64 + 66}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2t^{2} + 2}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0$$

Примечание: В исходных выкладках числитель преобразуется к виду $2(t-1)^2$. Исправим и упростим:

$$\frac{2(t - 1)^{2}}{( t - 8 ) ( t - 4 )} \leq 0$$

Данное неравенство выполняется в двух случаях: когда числитель равен нулю или когда дробь отрицательна за счет знаменателя:

$$\left[\begin{matrix} t = 1 \\ 4 < t < 8 \end{matrix}\right.$$

Выполним обратную замену, перейдя к переменной $x$:

$$\left[\begin{matrix} 2^{x} = 1 \\ 4 < 2^{x} < 8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 0 \\ 2^{2} < 2^{x} < 2^{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 0 \\ 2 < x < 3 \end{matrix}\right.$$

Критерии оценивания:
— 2 балла: решение полностью обосновано, получен правильный ответ.
— 1 балл: допущена вычислительная ошибка, не нарушающая логику решения, ИЛИ в ответе не учтена (лишняя) точка $x=0$.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (2; 3)$.

Источник: ФИПИ