Решение:
Для начала упростим исходное уравнение. Заметим, что выражение $4^{x}$ всегда принимает положительные значения, поэтому дополнительные ограничения не требуются.

$$2^{2 x} - \sqrt{3} \cos х - \sin 2 x = 4^{x}$$

Так как $2^{2x} = 4^x$, эти слагаемые взаимно уничтожаются. Применив формулу синуса двойного угла, получаем:
$-2 \sin х \cos х - \sqrt{3} \cos х = 0$
Вынесем общий множитель за скобки и сменим знаки:
$\cos х \cdot (2 \sin х + \sqrt{3}) = 0$

Данное уравнение распадается на два случая:
$\cos х = 0$ или $\sin х = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решая эти простейшие уравнения, находим совокупность корней:
$$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \\ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n \end{matrix}\right. , n \in \mathbb{Z}$$

б) Выполним отбор найденных значений на заданном промежутке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right].$
Поскольку длина данного интервала составляет ровно $2 \pi$, удобно воспользоваться методом тригонометрической окружности.

Согласно графическому представлению, в указанный отрезок попадают следующие числа:
Из первой серии: $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Из второй серии: $-\frac{\pi}{3}$.
Из третьей серии: $\frac{4\pi}{3}$ (так как $- \frac{2 \pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$).

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;
б) $- \frac{\pi}{2}; - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ