Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Смешанные прототипы

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииОДЗ: аргумент логарифма и подкоренное выражениеПростейшие тригонометрические уравненияРазложение на множителиОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

2 баллаФИПИЛёгкое#23329

а) Решите уравнение $\log _{4} \left(2^{2 x} - \sqrt{3} \cos х - \sin 2 x\right) = x .$
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Для начала упростим исходное уравнение. Заметим, что выражение $4^{x}$ всегда принимает положительные значения, поэтому дополнительные ограничения не требуются.

$2^{2 x} - \sqrt{3} \cos х - \sin 2 x = 4^{x}$

Так как $2^{2x} = 4^x$ , эти слагаемые взаимно уничтожаются. Применив формулу синуса двойного угла, получаем:
$-2 \sin х \cos х - \sqrt{3} \cos х = 0$
Вынесем общий множитель за скобки и сменим знаки:
$\cos х \cdot (2 \sin х + \sqrt{3}) = 0$

Данное уравнение распадается на два случая:
$\cos х = 0$ или $\sin х = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решая эти простейшие уравнения, находим совокупность корней:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \\ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n \end{matrix}\right. , n \in \mathbb{Z}$

б) Выполним отбор найденных значений на заданном промежутке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right].$
Поскольку длина данного интервала составляет ровно $2 \pi$ , удобно воспользоваться методом тригонометрической окружности.

Согласно графическому представлению, в указанный отрезок попадают следующие числа:
Из первой серии: $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ .
Из второй серии: $-\frac{\pi}{3}$ .
Из третьей серии: $\frac{4\pi}{3}$ (так как $- \frac{2 \pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ ).

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ;
б) $- \frac{\pi}{2}; - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ