Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Разбор задания:
Для упрощения функции воспользуемся свойством логарифма: показатель нечётной степени можно вынести перед знаком логарифма, при этом область допустимых значений выражения не изменится.

Исходная функция принимает вид: $y = 7x - 7 \ln(x + 10) + 5$.

Определим область определения: $x + 10 > 0$, то есть $x > -10$. Найдём производную данной функции:

$y' = (7x - 7 \ln(x + 10) + 5)' = 7 - 7 \cdot \frac{1}{x + 10} = 7 - \frac{7}{x + 10}$.

Приведём выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{7(x + 10) - 7}{x + 10} = \frac{7x + 70 - 7}{x + 10} = \frac{7x + 63}{x + 10}$.

Для поиска критических точек приравняем производную к нулю:

$\frac{7x + 63}{x + 10} = 0 \implies 7x + 63 = 0 \implies x = -9$.

Анализируя знаки производной на числовой прямой (с учётом ОДЗ), заметим, что при переходе через точку $x = -9$ производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, данная точка является точкой минимума функции.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ