Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} ( 1 ) 2^{\ln y} = 4^{\left|x\right|} , \\ ( 2 ) \log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 a^{2} ) = \log _{2} ( 1 - ax^{2} y^{2} ) + 1 \end{matrix}\right.$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
 $\left\{\begin{matrix} y > 0 \\ x^{4} y^{2} + 2 a^{2} > 0 \\ 1 - ax^{2} y^{2} > 0 \end{matrix}\right.$
Проанализируем структуру уравнений. Переменная $x$ входит в систему только в степенях $|x|$, $x^2$ и $x^4$. Это означает, что функции являются чётными относительно $x$. Следовательно, если пара чисел $(x; y)$ удовлетворяет системе, то и пара $(-x; y)$ также будет её решением. Для того чтобы решение было единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.

Пусть $x = 0$. Подставим это значение в первое уравнение:
(1) $2^{\ln y} = 4^{\left|0\right|}$
$2^{\ln y} = 1$
$2^{\ln y} = 2^{0}$
$\ln y = 0$
$\log _{e} y = 0$
$y = e^{0}$
$y = 1$
Таким образом, при $x = 0$ мы получаем потенциальное решение $(0; 1)$.

Теперь подставим $x = 0$ и $y = 1$ во второе уравнение системы, чтобы найти возможные значения параметра $a$:
(2) $\log _{2} ( 0^{4} \cdot 1^{2} + 2 a^{2} ) =$$\log _{2} ( 1 - a \cdot 0^{2} \cdot 1^{2} ) + 1$
$\log _{2} ( 2 a^{2} ) = \log _{2} 1 + 1$
$\log _{2} ( 2 a^{2} ) = 0 + 1$
$2 a^{2} = 2^{1}$
$2 a^{2} = 2$
$a^{2} = 1$
$a = \pm 1 .$

Необходимо проверить каждое из найденных значений $a$ на предмет наличия других решений, кроме $x = 0$.
Случай 1: $a = 1$.
Уравнение (2) принимает вид:
$\log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 \cdot 1^{2} ) = \log _{2} ( 1 - 1 \cdot x^{2} y^{2} ) + \log _{2} 2$
$\log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 ) = \log _{2} ( 2 \cdot ( 1 - x^{2} y^{2} ) )$
$x^{4} y^{2} + 2 = 2 - 2 x^{2} y^{2}$
$x^{4} y^{2} + 2 x^{2} y^{2} = 0$
$x^{2} y^{2} ( x^{2} + 2 ) = 0$
Так как $x^2 + 2 > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только при $x^2 y^2 = 0$. Учитывая, что из первого уравнения при $x=0$ следует $y=1$, а при $y=0$ первое уравнение не имеет смысла ($y>0$), получаем единственный корень $x = 0$.
Следовательно, при $a = 1$ решение $(0; 1)$ является единственным.

Случай 2: $a = -1$.
Уравнение (2) принимает вид:
$\log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 \cdot (-1)^{2} ) = \log _{2} ( 1 - (-1) \cdot x^{2} y^{2} ) + 1$
$\log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 ) = \log _{2} ( 1 + x^{2} y^{2} ) + \log _{2} 2$
$\log _{2} ( x^{4} y^{2} + 2 ) = \log _{2} ( 2 + 2 x^{2} y^{2} )$
$x^{4} y^{2} + 2 = 2 + 2 x^{2} y^{2}$
$x^{4} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = 0$
$x^{2} y^{2} ( x^{2} - 2 ) = 0$
Отсюда либо $x^2 = 0$ (что дает $x_1 = 0$), либо $x^2 - 2 = 0$ (что дает $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$).
Для каждого из этих значений $x$ найдется соответствующее значение $y$ из первого уравнения. Таким образом, система имеет как минимум 3 различных решения, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а = 1

Источник: ФИПИ