Задание №19 — Системы с параметром

Разбор решения:
Рассмотрим структуру первого уравнения. Если параметр $a = 1$, то уравнение вырождается в прямую $x + y = 4$. В случае, когда $a \neq 1$, уравнение распадается на совокупность двух параллельных прямых: $l_{1}: x + ay = 4$ и $l_{2}: x + ay = 4a$.
Второе уравнение системы описывает окружность $\omega$ с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 3$.
Так как любая прямая может пересекать окружность максимум в двух точках, для получения ровно четырех различных решений системы необходимо, чтобы $a \neq 1$ и каждая из прямых $l_{1}$ и $l_{2}$ имела с окружностью $\omega$ по две точки пересечения.
Проанализируем условия пересечения окружности с каждой прямой. Для $l_{1}$ подставим $x = 4 - ay$ в уравнение окружности:

$$(4 - ay)^{2} + y^{2} = 9$$ $$(a^{2} + 1)y^{2} - 8ay + 7 = 0$$

Наличие двух точек пересечения гарантируется положительным дискриминантом полученного квадратного уравнения:

$$D/4 = (4a)^{2} - 7(a^{2} + 1) = 16a^{2} - 7a^{2} - 7 = 9a^{2} - 7 > 0$$ $$(3a - \sqrt{7})(3a + \sqrt{7}) > 0$$

Это условие выполняется при $a < -\frac{\sqrt{7}}{3}$ или $a > \frac{\sqrt{7}}{3}$.

Теперь рассмотрим пересечение окружности с прямой $l_{2}$. Подставим $x = 4a - ay$:

$$(4a - ay)^{2} + y^{2} = 9$$ $$(a^{2} + 1)y^{2} - 8a^{2}y + 16a^{2} - 9 = 0$$

Для существования двух корней потребуем, чтобы дискриминант был больше нуля:

$$D/4 = (4a^{2})^{2} - (a^{2} + 1)(16a^{2} - 9) = 16a^{4} - (16a^{4} - 9a^{2} + 16a^{2} - 9) = 9 - 7a^{2} > 0$$ $$(\sqrt{7}a - 3)(\sqrt{7}a + 3) < 0$$

Откуда получаем интервал $-\frac{3}{\sqrt{7}} < a < \frac{3}{\sqrt{7}}$, что эквивалентно $-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Объединяя найденные условия и исключая случай $a = 1$, получаем искомые промежутки для параметра $a$:

$$a \in \left( -\frac{3\sqrt{7}}{7}; -\frac{\sqrt{7}}{3} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{7}}{3}; 1 \right) \cup \left( 1; \frac{3\sqrt{7}}{7} \right)$$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < -\frac{\sqrt{7}}{3}; \frac{\sqrt{7}}{3} < a < 1; 1 < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Источник: ФИПИ