Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемое выражение в правой части должно быть положительным, что выполняется при $x < -10$ или $x > -\frac{160}{17}$.
Заметим, что квадратный трёхчлен $17x^2 + 16$ всегда больше нуля при любом $x$. С учётом ОДЗ перейдём от логарифмического неравенства к рациональному:

$$\frac{17x^2 + 16}{x^2 + x + 1} \geq \frac{17x + 160}{x + 10}$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(17x^2 + 16)(x + 10) - (17x + 160)(x^2 + x + 1)}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$ $$\frac{17x^3 + 170x^2 + 16x + 160 - (17x^3 + 17x^2 + 17x + 160x^2 + 160x + 160)}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$ $$\frac{17x^3 + 170x^2 + 16x + 160 - 17x^3 - 177x^2 - 177x - 160}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$ $$\frac{-7x^2 - 161x}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0.$$

Разделим обе части на $-7$ (сменив знак неравенства) и разложим числитель на множители. Учтём, что дискриминант выражения $x^2 + x + 1$ отрицателен, значит, этот множитель всегда положителен и не влияет на знак дроби:

$$\frac{x(x + 23)}{x + 10} \leq 0.$$

Решая методом интервалов, находим промежутки: $x \leq -23$ и $-10 < x \leq 0$.
Теперь сопоставим полученный результат с условиями $x < -10$ и $x > -\frac{160}{17}$. В итоге получаем: $x \in (-\infty; -23]$ и $x \in (-\frac{160}{17}; 0]$.

Ответ: $(-\infty; -23] \cup (-\frac{160}{17}; 0]$.

Источник: ФИПИ