Решение:
а) Перенесем все слагаемые в одну часть и преобразуем уравнение:

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x - 3 \cos x = \sin 2x - \sqrt{3}$$ Заметим, что $\sin 2x$ в обеих частях взаимно уничтожается. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$: $$\sqrt{3}(2 \cos^2 x - 1) - 3 \cos x = - \sqrt{3}$$ $$2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} - 3 \cos x = - \sqrt{3}$$ $$2\sqrt{3} \cos^2 x - 3 \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель за скобки: $$\cos x \cdot (2\sqrt{3} \cos x - 3) = 0$$ Отсюда получаем два случая: 1) $\cos x = 0$, что дает серию решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sqrt{3} \cos x = 3$, то есть $\cos x = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя тригонометрический круг.

На указанном отрезке лежат следующие значения: $- 4\pi + \frac{\pi}{6} = - \frac{23 \pi}{6}$; $- 4\pi + \frac{\pi}{2} = - \frac{7 \pi}{2}$; $- 2\pi - \frac{\pi}{2} = - \frac{5 \pi}{2}$.

Критерии оценивания:
— Правильно выполнены оба пункта — 2 балла
— Верно решен только пункт а), или допущена одна арифметическая ошибка при сохранении верного алгоритма в обоих пунктах — 1 балл
— Решение не соответствует указанным требованиям — 0 баллов

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{23 \pi}{6}; - \frac{7 \pi}{2}; - \frac{5 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ