Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $2 \sin \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right) - 3 \cos х = \sin 2 x - \sqrt{3} .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Перенесем все слагаемые в одну часть и преобразуем уравнение:

$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x - 3 \cos x = \sin 2x - \sqrt{3}$ Заметим, что $\sin 2x$ в обеих частях взаимно уничтожается. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ : $\sqrt{3}(2 \cos^2 x - 1) - 3 \cos x = - \sqrt{3}$ $2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} - 3 \cos x = - \sqrt{3}$ $2\sqrt{3} \cos^2 x - 3 \cos x = 0$ Вынесем общий множитель за скобки: $\cos x \cdot (2\sqrt{3} \cos x - 3) = 0$ Отсюда получаем два случая: 1) $\cos x = 0$ , что дает серию решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ . 2) $2\sqrt{3} \cos x = 3$ , то есть $\cos x = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Следовательно, $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$ , используя тригонометрический круг.

На указанном отрезке лежат следующие значения: $- 4\pi + \frac{\pi}{6} = - \frac{23 \pi}{6}$ ; $- 4\pi + \frac{\pi}{2} = - \frac{7 \pi}{2}$ ; $- 2\pi - \frac{\pi}{2} = - \frac{5 \pi}{2}$ .

Критерии оценивания:
— Правильно выполнены оба пункта — 2 балла
— Верно решен только пункт а), или допущена одна арифметическая ошибка при сохранении верного алгоритма в обоих пунктах — 1 балл
— Решение не соответствует указанным требованиям — 0 баллов

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $- \frac{23 \pi}{6}; - \frac{7 \pi}{2}; - \frac{5 \pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ